2. Определение и свойства деревьев.

Деревом называется произвольный связный граф без циклов. Деревья обладают следующими свойствами:

1. любые две вершины соединены единственной простой цепью

2. количество ребер на единицу меньше количества вершин

3. при удалении любого ребра дерево становится не связным графом

4. при добавлении к дереву любого ребра в дереве появляется ровно один простой цикл

Остов Т графа G – это дерево графа G, содержащая все вершины графа G.

Кодеревом Т* остова Т графа G называется подграф G, содержащий все вершины G и только те ребра G, которые не входят в Т.

Ребра Т – называются ветвями Т, ребра Т* – хорды.

k-деревом называется ациклический граф, состоящий из k компонент. Остовым k деревом графа G называется k-дерево, является остовым подграфом графа G.

k-деревом Т* остового k-дерева графа G называется остовой подграф графа G, содержащий те ребра, которых нет в Т.

Лесом графа G называется k-остовое дерево графа G, где k – число компонент G.

Фактически дерево можно получить из любого связного графа.

Утверждение: любой связный граф содержит остовный подграф который является деревом. Этот подграф называется остовным деревом.

Специальные виды деревьев

1. Корневые деревья

Определение: Корневое дерево- ориентированное дерево, которое удовлетворяет условиям:

1. Имеется ровно один узел в который не входит не одно ребро, этот узел- корень

2. В каждый узел кроме корня входит ровно одно ребро

3. Из корня имеется путь к любому ребру.

4. Бинарные деревья

Определение:Бинарное дерево- корневое дерево у каждой вершины которого не более двух сыновей.

В таком дереве любой произвольный узел имеет левого и правого сына. Поддерево корнем которого является левый сын называется левым поддеревом. Поддерево корнем которого является правый сын называется правым поддеревом.

2. Полные бинарные деревья

Определение: Полное бинарное дерево- бинарное дерево для которого выполняются условия:

1. Заполнение дерева осуществляется от корня к листьям по уровням.

2. Заполнение уровней осуществляется слева направо.

Полные бинарные деревья представляются в виде одномерного массива: первый элемент массива- корень дерева. Для любого i-того узла элемент с индексом ( 2i)- левый сын, элемент с индексом (2i+1)- правый сын. Отец узла j – (j/2).

4. Бинарные поисковые деревья

Определение:Бинарное поисковое дерево- дерево поиска, если для любого узла V:

1. Все ключи в левом поддереве меньше ключа узла V

2. В правом поддереве все ключи больше, чем ключ V

3. В дереве нет одинаковых ключей.

4. Сбалансированные деревья

Определение: Дерево называется идеально сбалансированным, если оно является бинарным поисковым деревом и число вершин его левых и правых поддеревьев отличается не более, чем на единицу.

Определение: Дерево называется сбалансированным, если оно бинарное поисковое и высоты двух поддеревьев в каждой из вершин отличаются не более, чем на единицу.

3. Понятие кода и способы их задания.

Кодом в широком смысле называется совокупность знаков и система правил, в соответствии с которыми осуществляется преобразование сообщений из одного вида в другой для передачи, обработки и хранения информации.

Совокупность знаков кода называется алфавит. Кодовое слово это последовательность знаков, отображающих некоторое сообщение. Кодовое множество это набор всевозможных кодовых слов. Длиной кодового слова n называется количество символов в слове. Если длина кодового слова постоянна, то код наз. Равномерным, иначе неравномерным. Мощность кода M соответствует количеству кодовых слов во множестве. Кодовое множество наз. Полным, если в нем представлены все слова, которые можно получить из букв алфавита. Для равномерного кода M=kⁿ, где k – количество символов в алфавите, n – длина кодового слова.

Способы задания кода:

1. Перечисление кодовых слов в виде векторов или полиномов.

2. Геометрические модели, которые строятся в виде геометрических фигур или их разверток. Где каждая ось соответствует определенной позиции в кодовом слове. Геометрическое представление кода используется для наглядности изображения и для облегчения анализа кода.

3. Кодовое дерево или граф. Истоком дерева служит корень, ветви объединяются узлами. Конечные элементы наз. Листьями и представляют собой кодовое множество. Ветви помечаются символами алфавита, и при переходе от корня к листу получается кодовое слово.

4. Базисная матрица. Она включает только линейнонезависимые слова. Суммируя эти слова в различных сочетаниях, получается кодовое слово.

Выбор способа кодирования зависит от конкретной задачи, решаемой исследователем.

Классификацию кодов можно производить по нескольким признакам:

1. Система исчисления, зависит от количества цифр в алфавите кода: двоичные, троичные, восьмиричные, шестнадцатиричные.

2. Построение кода: систематические, в которых часть кода несет основную информацию, а часть кода для обнаружения ошибок; и несистематические – содержат только основную информацию.

3. Наличие избыточности. Если все слова кодового множества используются для кодирования сообщения, то код наз. Неизбыточным. Только избыточные коды позволяют обнаруживать и исправлять ошибки.