12. Определение пропускной способности сети

Каждая дуга сети обладает пропускными способностями в обоих направлениях, которые определяют максимальное количество потока, проходящего по данной дуге. Односторонняя дуга – пропускная способность в запрещенном направлении = 0. Пропускные способности C_ij сети можно представить в матричной форме. Для определения максимального потока из источника s в сток t используют следующие шаги:

Шаг 1. найти цепь, соединяющий s с t, по которой поток принимает положительное значение в направлении s→ t. Если такой цепи не существует, перейти к шагу 3, иначе к шагу 2.

Шаг 2. Пусть C^-_ij(C⁺_ij) – пропускные способности дуг цепи (s,t) в направлении s→ t(t→ s .) и θ =min{C^-_ij }>0. Матрицу пропускных способностей (C_ij) изменить следующим образом: (а) вычесть θ из всех C^-_ij (б) прибавить θ ко всем C^-_ij. Заменить текущую матрицу на полученную и перейти к шагу 1. Операция (а) дает возможность использовать остатки пропускной способности дуг выбранной цепи в направлении s → t. Операция (б) восстанавливает исходные пропускные способности сети, поскольку уменьшение пропускной способности дуги в одном направлении можно рассматривать как увеличение ее пропускной способности в противоположном направлении.

Шаг 3. Найти максимальный поток в сети. Пусть С = || C_ij || – исходная матрица пропускных способностей, и пусть С*=|| C*_ij || – последняя матрица, получившаяся в результате. Оптимальн6ый поток Х||x_ij|| в дугах задается как

x_ij =.

Максимальный поток s t равен z==

z –сумма всех положительных θ, определенных на Шаге 2. Т.о. можно объяснить, почему используются положительные элементы матрицы С-С* для определения результирующего потока в направлении s→ t.

14. Антогонистические игры. Часто в различных сферах деятельности человека возникают конфликтные ситуации. Они характеризуются наличием противоположных интересов отдельных людей или коллективов, которые стремятся к своим целям часто в ущерб друг другу.

В изучении проблем конфликта особое место занимает выбор и сравнительный анализ допустимых способов поведения противоборствующих сторон. Это дает возможность каждой стороне принять разумное решение относительно своего поведения. Следует подчеркнуть, что каждый участник конфликта должен учитывать не только свои цели, но и цели, которые поставил перед собой противник. Но соответствующую информацию удается получить далеко не всегда, это, конечно же, создает трудности как для исследователей, которые подготавливают варианты решений, так и для лиц, которые принимают окончательные решения.

Каждая сторона, участвующая в конфликте, формулирует свои цели, имеет активные средства для их достижения, разрабатывает и оценивает стратегии, осуществляет оптимальный выбор поведения в соответствующей обстановке, то есть ведёт своеобразную игру с противниками.

Раздел исследования операций, связанный с математическим моделированием условий конфликта и поиском на этой основе оптимальных решений, называется теорией игр.

Определение игры В игре могут сталкиваться интересы двух или более участников; в первом случае игра называется «парной», во втором – «множественной». Развитие игры можно представить как ряд последовательных «ходов» участниками. Ходы бывают личными (ход в шахматах) и случайными (бросание монеты, вынимание карты из колоды). Целью теории игр является оптимизация поведения игрока в игре, где есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Оптимальной стратегией называется та стратегия, которая обеспечивает наилучшее положение игрока в данной ситуации. Выявление оптимальных стратегий игроков - задача теории игр. ИГРА СЧИТАЕТСЯ ЗАДАННОЙ, если известно:

• множество ходов,

• платежные функции

• правила, которые указывают права и обязанности участников.

Некоторые игры состоят только из случайных ходов. Такие игры называются АЗАРТНЫЕ.

Игры, в которых есть личные ходы, называются СТРАТЕГИЧЕСКИМИ.

Все игры («игровые модели») можно классифицировать по одному или нескольким признакам:

1) игры с полной информацией (например, шахматы, крестики-нолики) и с неполной информацией (домино, карты)

2) антагонистические («антогонизм» - «противостояние, борьба»: каждый из игроков стремиться к максимуму выигрыша) и неантогонистические (один из игроков не стремиться к максимуму выигрыша, ему безразличен результат, так называемые «игры с природой»)

3) кооперативные и некооперативные игры.

АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Самым простым случаем, подробно разработанным в теории игр, является конечная парная игра с нулевой суммой, то есть игра, в которой противоборствуют две стороны А и В и выполнено условие , где ПА() единиц – выигрыш игрока А, выигрыш игрока В – ПВ() единиц. Такая игра называется антагонистической.

Игроки А и В, имеют противоположные интересы: выигрыш одного равен проигрышу другого. Можно интересоваться только выигрышем игрока А. Естественно, что А хочет увеличить выигрыш, а В хочет его уменьшить. Пусть А имеет m возможных стратегий ,, ... ,, а противник В – n, возможных стратегий , , ... ,. Обозначим черезвыигрыш стороны А, если она пользуется стратегией, а противник пользуется стратегией. В принципе мы можем составить прямоугольную матрицу, в которой перечислены стратегии игроков и соответствующие им выигрыши (табл. 2).

Таблица 2. Матрица игры m*n.

B А			...
			...
			...
…	...	...	...	...
			...

Если такая таблица составлена, то говорят, что игра приведена к матричной форме

Предположим, что сторона А пытается найти наилучшую из своих стратегий, оценивая выигрыши поочерёдно для каждой своей стратегии. При использовании стратегии, гарантированным будет наименьшее из значений,, ... ,. Лучшего результата ожидать не приходится из-за активных действий противника, который стремится уменьшить выигрыши А за счёт выбора своих стратегий. Следовательно, произвольно взятая стратегияхарактеризуется показателем, и наилучшей с точки зрения А является та стратегия, для которой величинамаксимальна и равна. Она называется максиминной стратегией, обеспечивающей выигрыш: .

При этом подходе отсутствует какой бы то ни было риск или расчет на возможные ошибки со стороны В. Если А будет придерживаться максиминной стратегии, то выиграет не меньше , называемой нижней ценой игры или максиминным выигрышем.

Предположим, что аналогичные рассуждения ведёт сторона В, но речь идет о проигрышах стороны А. Следовательно, произвольно взятая стратегия должна характеризоваться показателем, определяющим наибольший из ожидаемых проигрышей. Очевидно лучшей стратегией становится для В, стратегия дающая минимум, равный. Она называется минимаксной стратегией, так как . Величина называется верхней ценой игры или минимаксным проигрышем.

Оперирующие стороны могут использовать принцип гарантированного результата (минимакса) в качестве основы принятия решений и добиваться за счёт этого заранее предсказанных результатов.