6. Метод ветвей и границ в целочисленном программировании.

Этот метод решения задачи целочисленного программирования опирается на решение с ослабленными ограничениями. В отличие, например, от методов отсечений, метод ветвей и границ непосредственно применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам. Согласно общей идее метода, сначала решается задача с ослабленными ограничениями (задача линейного программирования). Пусть — целочисленная переменная, значение которой в оптимальном решении ослабленной задачи является дробным. Интервал не содержит допустимых целочисленных компонент решения. Поэтому допустимое целое значение должно удовлетворять одному из неравенств Введение этих условий в задачу с ослабленными ограничениями порождает две не связанные между собой задачи. В таком случае говорят, что исходная задача разветвляется (или разбивается)на две подзадачи. Осуществляемый в процессе ветвления учет необходимых условий целочисленности позволяет исключить части многогранника допустимых решений, не содержащие точек с целыми координации.

Затем каждая задача решается, как задача целочисленного программирования (с целевой функцией исходной задачи). Если полученный оптимум оказывается допустимым для целочисленной задачи, такое решение следует зафиксировать, как наилучшее. В противном случае подзадача в свою очередь должна быть разбита на две подзадачи опять при учёте условия целочисленности переменных, в оптимальном решении не являются целыми. Как только одно из решений окажется лучше прежнего, оно фиксируется, как наилучшее. Процесс ветвления продолжается пока задача не придёт к целочисленному решению или к невозможности улучшения => зафиксированное решение является оптимальным. Эффективность метода можно повысить, если ввести границы, на основе которых делается вывод о необходимости дальнейшего разбиения.

7. Приведение к стандартной форме транспортной задачи линейного программирования.

Транспортная задача: рассмотрим на примере:

Составить план перевозок зерна из районов А1, А2, А3 и А4 в которых запасы составляю соответственно 800, 700, 1000, 500 тыс. центнеров на 3- и элеватора В1, В2, В3. Мощностью (объемом) 1000, 1100, 900 тыс. центнеров.

При построении таблицы решения транспортной задачи используются:

1. величины, характеризующие объем производства в каждом исходном пункте и спрос в каждом пункте назначения;

2. стоимость перевозки единицы продукции из каждого исходного пункта в пункт назначения.

Цель построения – определение количества продукции, которое следует перевезти, чтобы транспортные расходы были минимальные.

Основное предположение, используемое при построении модели в том, что величина расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции.

При решении транспортной задачи повторяются этапы реализации симплекс-алгоритма, однако способ проверки условий: оптимальности и допустимости видоизменяется.

Основные шаги алгоритма:

1. Найти начальное допустимое решение.

2. Выделить из числа небазисных переменных вводимую в базис. Если все небазисные переменные удовлетворяют условиям оптимальное™ – конец, иначе – 3.

3. Выбрать выводимую из базиса переменную (используя условия допустимости). Из числа переменных текущего базиса. Затем найти новое решение.

Начальное решение

	В1	В2	В3	Аi
А1	3	5	6	800
А2	7	2	4	700
А3	4	3	5	1000
А4	6	4	7	500
Вj	1000	1100	900	3000

Х11 приписываем максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и объем производства. После этого вычеркивается соответствующий столбец или строка. Пересчитать то, что осталось. Пока не останется 1 столбец или строка.

	В1	В2	В3	Аi
А1	800*3			800
А2	200*7	500*2		700
А3		600*3	400*5	1000
А4			500*7	500
Вj	1000	1100	900	3000

Суммы затрат на перевозки: 800*3+200*7+500*2+600*3+400*5+500*7=12100