Реализация в excel

Рассмотрим построение линии регрессии с помощью MS Excel на примере следующей задачи. Известна табличная зависимость G(L). Построить линию регрессии и вычислить ожидаемое значение в точках 0, 0.75, 1.75, 2.8,4.5.

Введем таблицу значений в лист MS Excel и построим точечный график. Рабочий лист примет вид (см. рис. 2).

Рисунок 2

Чтобы в ячейках K2, L2 получить коэффициенты линейной зависимости a и b необходимо выделить эти две ячейки мышью, выбрать функцию ЛИНЕЙН в списке статистических функций

Ввести в поле Известные_значения_y значения из ячеек B2:J2, а в поле Известные_значения_x значения из ячеек B1:J1. Нажать Ok. Не забыть, что функция ЛИНЕЙН работает со значениями x и y в виде массивов. Т. е. необходимо нажать F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В результате получим следующие коэффициенты (см. рис 3)

Рисунок 3

В ячейке M2 будет рассчитываться значение коэффициента корреляции, для чего туда следует ввести формулу =КОРРЕЛ(B1:J1;B2:J2). В результате рабочий лист примет вид (см. рис. 4).

Рисунок 4

Теперь с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ вычислим ожидаемое значение в точках 0, 0.75, 1.75, 2.8, 4.5. Для этого в ячейки L9:L13 занесем эти значения, а в ячейки M9:M13 введем формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B2:J2;B1:J1;L9:L13) для расчета ожидаемых значений. Для этого выделим ячейки M9:M13 выберем в списке статистических функций функцию ТЕНДЕНЦИЯ и заполним ее как указано ниже

Нажимаем OK. Так как функция ТЕНДЕНЦИЯ работает с данными как с массивами то необходимо дополнительно нажать F2, а затем Ctrl+Shift+Enter.

В результате получим следующие значения.

x	y
0	1,638667
0,75	2,351667
1,75	3,302333
2,8	4,300533
4,5	5,916667

Изобразим линию регрессии на диаграмме. Для этого выделим экспериментальные точки на графике, щелкнем правой кнопкой мыши и выберем команду Исходные данные. В появившемся диалоговом окне (см. рис. 5), для добавления линии регрессии щелкнем по кнопке Добавить.

Рисунок 5

В качестве имени введем Линия регрессии, в качестве Значения Х L9:L13, в качестве Значения Y M9:M13. Далее выделяем линию регрессии, для изменения ее типа щелкаем правой кнопкой мыши и выбираем команду Тип диаграммы (рис. 6). Для форматирования линии регрессии дважды щелкаем по ней (рис. 7), можно изменить толщину линии, цвет, тип маркера и т.д.

Рисунок 6 Рисунок 7

После форматирования графика рабочий лист примет вид, изображенный на рис. 8.

Рисунок 8

Квадратичная функция

Необходимо определить параметры функции y=a₀+a₁*x+a₂*x².

Составим функцию

Для этой функции запишем систему уравнений:

Получим

Для нахождения параметров a₀, a₁, a₂ необходимо решить эту систему линейных алгебраических уравнений (например, методом Крамера или методом обратной матрицы).

Кубическая функция

Необходимо определить параметры многочлена третьей степени: y=a₀+a₁*x+a₂*x²+a₃*x³.

СоставимфункциюS:

Система уравнений для нахождения параметров a₀, a₁, a₂, a₃ имеет вид:

Для нахождения параметров a0, a1, a2, a3 необходимо решить систему четырёх линейных алгебраических уравнений.

Если в качестве аналитической зависимости выберем многочлен k-й степени y=a₀+a₁x+...+a_k x^k, то система уравнений для определения параметров a_i принимает вид:

Подбор параметров функции y=a*x^b.

Для нахождения параметров функции y=a*x^b проведем логарифмирование функции y.

Lg y = Lg a + b Lg x

Сделаем замену Y = lg y; X = lg x; A = lg a. Получим линейную зависимость Y = A+bX. Найдем коэффициенты линии регрессии A и b. Затем определяем a=10^A. Мы получили значение параметров функции y=a*x^b.

Подбор параметров функции y=a*e^bx.

Прологарифмируем выражение y = a*e^bx;

Lg y = Lg a + b*x*Lg e;

Проведём замену Y=Lg y. Вновь получаем линейную зависимость Y=Bx+A, где A= Lg a; B=b*Lg e. Найдем A и B. Затем определим значение параметров a и b, a=10^A и b=B/Lg(e). Ниже проведены замены переменных, которые преобразовывают функции вида y=f(x, a, b) к линейной зависимости Y= Ax+B.

Подбор параметров функции y=a*x^b*e^cx

Прологарифмируем выражение y=a*x^b*e^cx, после логарифмирования оно принимает вид:

Lg y=Lg a+b*Lg x+c*Lg ex

Сделаем замену Y=Lgy, A=Lga, C=c*Lge. После замены выражение принимает вид:

Y=A+b*Lg X+CX

Для функции этой составим функцию S:

Параметры A, b и С следует выбрать таким образом, чтобы функция S была минимальной. После элементарных преобразований получим систему трёх линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов A, b и C.

Решив систему, получим значения A, b, C. После чего вычисляем

a=10^A; c=C/Lg(e).