- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1 функции алгебры логики
- •1.2 Булевы функции.
- •Тема 2 формулы алгебры логики
- •2.1 Равносильные формулы алгебры логики.
- •Тема 3 нормальные формы
- •3.1 Разложение булевых функций по переменным.
- •3.2 Алгебра Жегалкина.
- •Тема 4 полнота и замкнутость
- •4.1 Важнейшие замкнутые классы.
- •4.2 Теорема о полноте.
- •Тема 5 контактные и логические схемы
- •5.1 Анализ и синтез контактных схем.
- •5.3 Двоичный сумматор.
- •Вопросы для самоконтроля
- •1 Что такое релейно-контактная схема?
- •Тема 6 минимизация булевых функций
- •6.1 Сокращенная и тупиковая днф.
- •6.2 Метод импликантных матриц
- •Тема 7 алгебра логики предикатов
- •7.2 Кванторные операции над предикатами
- •7.3 Формулы логики предикатов
- •7.4 Равносильные преобразования формул
- •Тема 8 конечные автоматы
- •8.1 Детерминированные функции
- •8.2 Графическое задание детерминированных функций
- •8.3 Ограниченно-детерминированные функции
- •8.1 Детерминированные функции
- •8.2 Графическое задание детерминированных функций
- •8.3 Ограниченно-детерминированные функции
- •8.4 Каноническое уравнение ограниченно-детерминированных функций
- •Тема 9 элементы теории алгоритмов
- •9.1 Машина Тьюринга
- •9.2 Рекуррентные функции
- •9.3 Тезисы Тьюринга и Чёрча
- •Литература
- •Учебное издание
Тема 1 функции алгебры логики
1.1 Логические операции
1.2 Булевы функции
Основными объектами дискретной математики являются булевы функции. Предпосылкой их введения служат высказывания, которые составляют основную базу для построения теории булевых функций.
1.1 Логические операции.
Алгебра логики – самый простой раздел математической логики. Язык алгебры логики является одним из простейших языков математики. Основными объектами данного раздела являются высказывания. Понятие «высказывание» является первичным, оно не определяется, а поясняется. Под высказыванием понимают предложение, о котором можно сказать одно из двух: истинно оно или ложно. Например, высказывание «2 + 3 = 5» – истинное, высказывание «существует действительное число хтакое, чтох2= –1» – ложное. Очевидно, не каждое предложение является высказыванием. Например, предложения: «Когда ты был дома?», «Пойдем со мной!» не являются высказываниями. Высказывания будем обозначать малыми латинскими буквамиx, y, z,…,а их значения, т.е. истину и ложь, соответственно 1 и 0. Из двух данных высказываний с помощью связок «не», «и», «или», «если … то», «тогда и только тогда, когда …» можно образовать новые высказывания. Например, из высказываний «число 2 простое», «число 2 четное» с помощью указанных выше связок получаем высказывания: «число два простое и четное», «число 2 непростое», «число 2 простое или четное». Высказывание «если π иррационально, то π2тоже иррационально» получается связыванием двух высказываний связкой «если … то». Эти операции соответствуют упомянутым выше связкам, употребляемым в обычной речи.
Рассмотрим примеры логических операций.
1 Логическая операция, соответствующая связке «и», называется конъюнкциейи обозначается &. В некоторых книгах эту операцию обозначают символом. Пустьxи y – высказывания. Высказываниеxyназовем конъюнкциейx иy. Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказыванияxиy.
Соответствующее определение запишем в виде таблицы истинности:
x |
y |
xy |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Определение конъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число высказываний.
Конъюнкция x1x2…xn, которую мы кратко обозначим через, истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания.
2 Логическая операция, соответствующая связке «или», называется дизъюнкциейи обозначается.
Пусть xиy– высказывания. Высказываниеxyназовем дизъюнкциейxиy. Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказыванийxиyистинно.
Данное определение запишем в таблицы истинности:
x |
y |
xy |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Определение дизъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число высказываний. Дизъюнкция x1x2…xn, которую мы кратко обозначим через, истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказыванийx1,x2, …,xnистинно.
3 Логическая операция, соответствующая связке «не», называется отрицанием.
Отрицание высказывания xзаписывается так:и определяется следующей таблицей истинности:
x | |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 Логическая операция, соответствующая связке «если … то», называется импликацией. Эту операцию будем обозначать символом. При этом высказывание «еслиx, тоy» записывается в виде xy. Высказываниеxназывается посылкой импликации,y– ее заключением. Импликация двух высказыванийxиyзадается следующей таблицей истинности:
x |
y |
xy |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Из определения импликации вытекает, что:
импликация с ложной посылкой всегда истинна;
импликация с истинным заключением всегда истинна;
импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно.
5 Логическая операция, соответствующая связке «тогда и только тогда, когда …» называется эквивалентностьюи обозначается символом.
Пусть xиy– высказывания. Высказываниеxyназовем эквивалентностьюxиy. Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда оба
высказывания xиyили истинны или ложны.
Данное определение запишем в виде таблицы истинности:
x |
y |
xy |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |