Волновая оптика и квантовая физика_2010

неба. По тем же причинам при восходе и закате прямой солнеч- ный свет, прошедший через значительную толщу атмосферы, должен быть красно-оранжевым. Присутствие в воздухе пыли и влаги, туман усугубляют рассеяние синей и голубой составляю- щих и они к наблюдателю не доходят. В этом случае солнце становится красным и таково же происхождение зорь на восходе и закате.

6. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ТЕЛ

Электромагнитное излучение, испускаемое атомами тела за счет внутренней (тепловой) энергии излучающего тела и зави- сящее только от температуры и оптических свойств данного те- ла, называется тепловым. Этот вид излучения происходит при всех температурах и представляет для физиков особый интерес, так как это единственное излучение, которое может находиться в состоянии термодинамического равновесия с нагретыми телами.

6.1. Теплообмен. Правило Прево

Нагретые тела обмениваются энергией путем испускания и поглощения лучистой энергии. В состоянии равновесия про- цессы испускания и поглощения энергии каждым телом в сред- нем компенсируют друг друга, и в пространстве между телами характеристики излучения достигают определенных значений, зависящих только от установившейся температуры тел. Это из- лучение, находящееся в термодинамическом равновесии с тела- ми, имеющими одинаковую температуру, называется равновес- ным или черным излучением. Величина энергии равновесного излучения и его спектральный состав зависят только от темпе- ратуры. Если в адиабатно замкнутую полость с зеркально отра- жающими стенками поместить несколько тел, нагретых до раз- личной температуры, то, как показывает опыт, такая система с

71

течением времени приходит в состояние теплового равновесия, при котором все тела приобретают одинаковую температуру. Если через малое отверстие заглянуть внутрь полости, в которой установилось термодинамическое равновесие между излучени- ем и нагретыми телами, то глаз не различит очертаний тел и за- фиксирует лишь однородное свечение всей полости в целом.

Равновесие в полости устанавливается потому, что каж- дое тело испускает ровно столько лучистой энергии, сколько оно ее поглощает. Это одна из важнейших закономерностей те- плового излучения, экспериментально установленная швейцар- ским ученым П. Прево в 1809 г.

6.2. Характеристики теплового излучения

Рассмотрим величины, характеризующие тепловое излу-

чение:

1. Энергетическая светимость R(Т) - это полная энергия электромагнитного излучения, испускаемая единицей поверхно- сти тела во всех направлениях в единицу времени на всех часто- тах. Этот полный поток излучения всех волн называют также

интегральной светимостью тела. Согласно определению

R(T) = dEисп , dSdt

где Еисп − энергия, испускаемая всем за определенный промежу- ток времени.

2. Распределение энергии по длинам волн в излучении тел при заданной температуре T характеризуется испускатель-

ной или излучательной способностью rν,T или r(ν, T), равной

энергии, испускаемой с единицы поверхности тела в единицу времени в единичном интервале частот. Аналогично можно вве- сти распределение энергии по длинам волн r(λ, T). Функцию r (λ, T) (или r (ν, T)) часто называют спектральной плотностью энергетической светимости

72

Связь энергетической светимости и испускательной способно- сти тела записывается следующим образом:

∞∞

R(T ) = ∫r(λ,T )dλ = ∫r(ν,T )dν

00

3.Способность тел поглощать падающее на них излуче-

ние характеризуется поглощательной способностью аν,Т или

а(ν,Т) - отношением поглощенной энергии в интервале частот от

νдо ν +dν к общему количеству энергии падающего излучения в том же интервале:

a(ν ,T ) = dEпогл .

dEпад

Поглощательная способность - это безразмерная величина. Испускательная и поглощательная способности зависят

от частоты излучаемых и поглощаемых волн, температуры тела, его химического состава и состояния поверхности. Все тела час- тично поглощают и частично отражают падающее на них излу- чение. Идеализацией является понятие абсолютно черного тела,

73

ражения стенками практически полностью поглощается, и на- ружу не выходят. Поэтому отверстие снаружи будет казаться совершенно черным. Но если полость нагрета до определенной температуры T, и внутри установилось тепловое равновесие, то собственное излучение полости, выходящее через отверстие, будет излучением абсолютно черного тела. Именно таким обра- зом моделируется абсолютно черное тело во всех экспериментах по исследованию теплового излучения. Абсолютно черное тело − это абстракция. В природе к абсолютно черному телу по свой- ствам близки: сажа, черный бархат, черная шерсть животных, поглощающие свойства которых обусловлены их пористостью. От таких тел падающее излучение не отражается из-за много- кратного переотражения в микрополостях и последующего рас- сеяния.

Наряду с понятием черного тела используют понятие се- рого тела, поглощательная способность которого меньше еди- ницы, но одинакова для всех частот и зависит только от темпе- ратуры, материала, из которого сделано тело и состояния его поверхности

аνсер,Т = аТсер = const < 1.

Уреальных тел аν,Т < 1 и зависит от частоты.

6.3.Закон Кирхгофа

Г. Р. Кирхгоф в 1859 г. нашел количественную связь из- лучательной и поглощательной способности тел: отношение

излучательной и поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией частоты и температуры, одинаковой для всех тел:

( rν,T )тело1= ( rν,T )тело2 =....= f (ν ,T), aν,T aν,T

74

где функция f(ν,T) называется универсальной функцией Кирхго-

фа. Этот закон следует из того, что для теплового равновесия количества поглощаемой и излучаемой телом энергии должны

быть равны для всех диапазонов частот: dEизл = dEпогл. Это ра- венство можно переписать в следующем виде: rν,T dν = аν,Т dν,

для всех тел функция, характеризующая распределение энергии по частотам в падающем на тела тепловом излучении. Закон справедлив для любого тела, в том числе и для абсолютно чер- ного. Поскольку его поглощательная способность равна едини- це, то из закона Кирхгофа, записанного для абсолютно черного

тела, следует ( rνч,Т ) = rνч,Т = f ( ν,Т) . Таким образом, универсальная

1

функция Кирхгофа есть не что иное, как испускательная спо- собность абсолютно черного тела. В этом состоит физический смысл функции Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует, что ис- пускательная способность любого тела меньше, чем абсолютно черного.

6.4. Законы Стефана-Больцмана и Вина

Открытие закона Кирхгофа потребовало тщательного ис- следования излучения абсолютно черного тела. В 1879 году польский физик Йозеф Стефан на основе анализа эксперимен- тальных данных пришел к заключению, что энергетическая

светимость абсолютно черного тела R(T) пропорциональна

четвертой степени абсолютной температуры T:

R(T) = σT 4.

Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман теоретически по- лучил эту зависимость на основе термодинамических законов. Этот закон получил название закона Стефана– Больцмана. Чи- словое значение постоянной Стефана-Больцмана σ составляет

75

5,671·10–8 Вт/(м2·К4). В даль-

нейшем в результате экспе- риментальных проверок бы- ло установлено, что такая зависимость с поправкой имеет место и для других тел. Закон Стефана-Больц- мана не позволяет найти час- тотную зависимость излуче- ния. Лишь к концу 90-х го- дов XIX века были выполне- ны тщательные эксперимен- тальные измерения спек- трального распределения из- лучения абсолютно черного тела, которые показали, что при каждом значении темпе- ратуры T зависимость r(λ, T) имеет свой ярко выражен- ный максимум (рис. 6.2). С увеличением температуры максимум смещается в об- ласть коротких длин волн,

причем произведение температуры T на длину волны λm, соот- ветствующую максимуму, остается постоянным:

λmT = b или λm = b / T.

Это соотношение было получено Вином в 1893 г. из термодина- мики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина: дли-

на волны λm, на которую приходится максимум энергии излуче-

ния абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсо-

лютной температуре T. Значение постоянной Вина b = 2,898·10–3 м·К.

76

При практически достижимых в лабораторных условиях температурах максимум излучательной способности r (λ, T) ле- жит в видимой красной и инфракрасной областях, поэтому на- гретые тела приобретают красный цвет. Вид графиков (рис.6.2) показывает, как спектральный максимум излучения смещается из инфракрасной в видимую (при T ≥ 5·103 К) и далее в ультра- фиолетовую область при повышении температуры тела, что подтверждается экспериментально. Максимум энергии излуче- ния Солнца приходится примерно на 470 нм (зелено-голубая область спектра), что соответствует температуре наружных сло- ев Солнца около 6200 К (если рассматривать Солнце как абсо- лютно черное тело).

6.5. Квантовый характер излучения

После установления законов излучения стало очевидно, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т.е. выяснении спек- трального состава равновесного излучения абсолютно черного тела. Существование на экспериментальных кривых (рис.6.2) максимумов свидетельствует о том, что энергия излучения чер- ного тела распределена по его спектру неравномерно – черное тело почти не излучает в области очень малых и очень больших частот. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории из- лучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, т.к. привело к установлению квантового характера из- лучения и поглощения энергии атомами и молекулами.

В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик, барон Д.У. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической

механики о равномерном распределении энергии по степеням

свободы в состоянии термодинамического равновесия. Эта тео-

рема была применена Релеем к равновесному излучению в по- лости. Равновесное электромагнитное излучение в замкнутой

77

полости c постоянной температурой стенок он рассматривал как систему стоячих электромагнитных волн различных частот в 3-х измерениях. Колебания с различными частотами совершаются независимо друг от друга и каждой частоте соответствует своя колебательная степень свободы. Несколько позже эту идею под- робно развил английский физик и астроном Д.Х.Джинс. Таким путем удалось получить зависимость излучательной способно- сти абсолютно черного тела от частоты ν и температуры T:

Это соотношение называют формулой Релея– Джинса. Оно со- гласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн или малых частот (рис.6.3). Кроме того, из него следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость R(T) черного тела должна обращаться при коротких (ультрафиолетовых) длинах волн в бесконечность, что было на- звано «ультрафиолетовой катастрофой» и что противоречило реально наблюдаемым данным.

Таким образом, безупречный с точки зрения классиче- ской физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена немецким физиком М. Планком на осно- ве новой идеи, положившей начало квантовой физике.

В своих расчетах Планк выбрал наиболее простую мо- дель излучающей системы – совокупности гармонических ос- цилляторов - атомов со всевозможными собственными частота- ми. Планк предположил, что энергия осциллятора не может принимать значения, меньшего некоторой минимальной вели- чины ε, а любое другое значение энергии осциллятора кратно ε.

78

Здесь c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное рас- пределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из фор- мулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν << kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отка- зом от классических представлений, и сам Планк, совершив ве- ликое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики. Теоретически вывод своей формулы Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

Таким образом, Планк выдвинул гипотезу, которая в дальнейшем блестяще подтвердилась и в других экспериментах,

согласно которой энергия атома - осциллятора может изме- няться не непрерывно, а только дискретно - квантами. Энергия кванта пропорциональна частоте колебаний, излучение и по- глощение энергии при тепловом излучении тел квантовано.

6.6. Пирометрия и пирометры

Пирометрия – совокупность оптических бесконтактных методов измерения температуры (от греч. pyr – огонь и metreo - измеряю). Методы пирометрии применяют для измерения отно- сительно высоких температур. При Т< 1000 °С они играют в це- лом второстепенную роль, при Т>1000 °С становятся главными, при Т>3000 °С - практически единственными методами измере-

80