Волновая оптика и квантовая физика_2010

линзу и за линзой сопряжено с плоскостью В1 В2 установим эк- ран Э (рис.2.5). Чтобы определить на экране точку М1, в которой соберутся лучи 1’ и 1’’, надо через точку В1 и центр линзы О провести побочную оптическую ось до пересечения с экраном. Аналогично построим на экране точку М2. Разности хода лучей 1’ и 1’’, 2’ и 2’’ будут отличаться из-за разной толщины клина d1 и d2. Следовательно, геометрическое место точек клина, соот- ветствующих какой-то одинаковой толщине d определит одина- ковую разность хода для всех лучей, падающих на это место. Для этих лучей на экране выполняется одинаковое условие ин-

терференции. Таким местом в клине является полоса, например, А1А2 (рис. 2.6) и на экране картина имеет вид светлых и темных

полос, которые называются полосами равной толщины. В рас- смотренном случае полосы равной толщины локализованы близко над поверхностью пластинки. Мы можем увидеть их и не в лабораторных условиях, так как роль линзы в данном случае играет хрусталик, а роль экрана - сетчатка нашего глаза.

Если свет падает на клиновидную пластинку нормально (луч 1’’ перпендикулярен нижней поверхности пластины), то полосы равной толщины локализованы на верхней поверхности клина. При освещении клина снизу, т.е. при наблюдении ин-

равной толщины

21

дящем свете соответствуют минимумам в отраженном. При на- клонном падении света на линзу вместо колец на интерференци- онной картине получаются эллипсы. Если свет будет не моно- хроматическим, а белым, светлые кольца приобретают радуж- ную окраску.

2.4. Применение интерференции

Перечислим важнейшие применения интерференции:

1.Измерение длин с очень большой точностью; это по- зволило дать легко воспроизводимое и достаточно точное опре- деление единицы длины - метра, в зависимости от длины волны оранжевой линии криптона. Интерференционные компараторы позволяют сравнивать размеры до 1 м с точностью до 0,05 мкм; меньшие размеры могут быть измерены с еще большей точно- стью. Такая высокая точность обусловлена тем, что изменение

разности хода на десятую долю длины волны заметно смещает интерференционные полосы.

2.На явлении интерференции основано действие боль-

шого количества оптических приборов под общим названием интерферометры, которые используются для различных изме- рений. В оптикомеханической промышленности интерферо-

метры используются для контроля качества оптических систем и контроля поверхности отдельных оптических деталей. В метал- лообрабатывающей промышленности – для контроля чистоты обработки металлических поверхностей. Изучение и контроль полировки зеркальных поверхностей (для этого применяется так называемый интерферометр Линника) проводится с точностью до сотых долей длины волны.

3.С использованием явления интерференции проводится определение ряда важнейших величин, характеризующих свой- ства вещества: коэффициента расширения твердых тел (дилато- метры), показателя преломления газообразных, жидких и твер-

23

дых тел (рефрактометры) и т.п. Интерференционные дилатомет- ры позволяют зафиксировать удлинение образца на 0,02 мкм.

4.Широко распространены интерференционные спектро- скопы, применяемые для исследования спектрального состава излучения различных веществ.

5.Посредством интерференции поляризованных лучей

проводиться определение величин внутренних напряжений в различных деталях (метод фотоупругости).

3.ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Если свет от источника через сферическое отверстие на- править на экран (рис. 3.1 а), то, согласно закону прямолиней- ного распространения света, на экране должно наблюдаться светлое пятно - изображение отверстия АВ. При уменьшении отверстия его изображение также должно уменьшаться. Однако опыт привел к неожиданному результату: начиная с определен- ного размера отверстия его дальнейшее уменьшение сопровож-

24

Изложенный в разделе 2.1 принцип Гюйгенса помог объ- яснить дифракцию качественно. Поскольку вторичные источни- ки излучают сферические волны, световое возмущение будет распространяться по всем направлениям. Значит, каждая точка отверстия (рис. 3.1 a) будет источником сферической волны и свет за отверстием может идти по всем направлениям, т.е. от- клоняться от прямолинейности. Французский физик О. Френель, развивая идеи Гюйгенса, дал метод количественного расчета дифракции, названный принципом Гюйгенса-Френеля. Рассмот- рим основные положения данного принципа:

1. Любой источник света S0 можно заменить эквивалент- ной системой фиктивных (вторичных) источников, находящихся

ней нормали n к dS. Амплитуда вторичной волны в направлении r (где r – расстояние от dS до точки наблюдения В) уменьшается с увеличением угла α между r и нормалью к dS. Она становится равной нулю при α ≥ π/2, т.е. излучение внутрь поверхности не распространяется. От каждого участка dS в точку В приходит световое колебание

dE = C(α ) E0dS sin( ω t - kr) . r

25

Здесь Е0 – амплитудное значение светового вектора, С(α)- коэф- фициент, зависящий от угла α (С(0) = 1, С(π/2) = 0). Тогда

результирующее значение Е от всей волновой поверхности S в точке В равно

Это математическое выражение принципа Гюйгенса- Френеля, которое позволяет вычислять световое возмущение в любой точке наблюдения. Недостатком данного принципа явля- ется сложность его практического применения.

4. Если часть волновой поверхности закрыть непрозрач- ным экраном, то вторичные волны излучаются только откры- тыми участками поверхности.

3.2. Метод зон Френеля

Для упрощения расчета результирующей амплитуды све- тового колебания в точке наблюдения, Френель предложил ме- тод деления фронта волны на зоны. Пусть S – точечный источ- ник света, P – произвольная точка наблюдения, в которой необ- ходимо определить амплитуду Е световых колебаний. Фронт волны в определенный момент времени есть сфера S’ (рис. 3.3).

Зоны Френеля строятся таким образом, что расстояния от краев двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины световой волны λ/2.

Обозначим расстояние от точки P до волнового фронта OP = L, тогда границей центральной или первой зоны будут точки поверхности S’, находящиеся на расстоянии L+λ/2 от точ- ки P. Эти точки расположены на поверхности по окружности. Точки сферы S’, находящиеся на расстоянии L+2λ/2 от P, обра- зуют границу второй кольцевой зоны, на расстоянии L+3λ/2 – границу третьей и т.д.

26

S’

Рис. 3.3. Иллюстрация к методу зон Френеля

Обозначим Е1 амплитуду волны, пришедшей в точку P от первой зоны, Е2 – от второй и т.д. Колебания, приходящие в точку В от двух соседних зон, противоположны по фазе, так как их разность хода равна λ/2, они будут ослаблять друг друга. На- помним, что при прохождении волной пути в половину длины волны ее фаза меняется на противоположную. Поэтому при суммировании амплитуды нечетных зон будем брать со знаком «+», а четных – со знаком «-». В итоге результирующая ампли- туда, т.е. амплитуда колебаний от всех зон в точке P будет равна

Е= Е1 – Е2 + Е3 – Е4 +…+ Еn.

Сувеличением номера зоны амплитуда колебаний моно-

тонно убывает, так как увеличивается расстояние от зоны до точки P и угол α между нормалью к поверхности зоны и направ-

лением на точку наблюдения, поэтому по абсолютной величине

Е1 > Е2 > Е3 > Е4 >…> Еn.

Из-за того, что число зон n очень велико (например, для λ = 500нм и L = 10см n = 80000), амплитуды двух соседних зон

27

мало отличаются друг от друга по величине и с большой степе- нью точности можно предположить, что

Согласно вышеприведенным рассуждениям все выражения в скобках обращаются в нуль и Е ≈ Е1/2. Результирующая ампли- туда светового колебания от всей волновой поверхности в точке наблюдения равна половине амплитуды, приходящей от одной центральной зоны. Если на пути волны поставить непрозрачный экран, оставляющий открытой только центральную зону Френе- ля, то амплитуда светового колебания в точке P будет равняться Е1, т.е. возрастет в два раза. Если экран открывает две зоны, их амплитуды будут «гасить» друг друга и в точке P будет наблю- даться минимум интенсивности. Если открыты три зоны, третья зона останется нескомпенсированной, и в точке P будет наблю- даться максимум, и т.д. Таким образом, если на волновой по- верхности открыто нечетное число зон Френеля, в точке наблю- дения будет светло, если четное – темно. Если между волновой поверхностью и точкой P поставить специальную пластинку, которая закрывала бы все четные (или нечетные) зоны, то ин- тенсивность в точке P резко возрастет. Такая пластинка называ- ется зонной и действует подобно собирающей линзе.

Различают дифракцию Френеля – это дифракция в схо- дящихся или расходящихся лучах и дифракцию Фраунгофера – в параллельных лучах. Разберем эти случаи более подробно.

28

29

m – четное число, результирующая амплитуда в точке Р:

E = E1 − Em и в точке Р будет наблюдаться интерференционный

2

минимум (рис. 3.4 в). Чтобы найти результирующую амплитуду

вдругой точке экрана, например, Р’, необходимо разбить фронт волны на зоны с центром в точке О’ (рис. 3.4. а). В этом случае часть первоначальних зон будет закрыта экраном Э1. Амплитуда

вточке Р’ будет определяться не только числом зон, уклады- вающихся на отверстии, но и степенью частичного перекрыва- ния зон. Исходя из соображений симметрии, дифракционная

картина должна состоять из чередующихся светлых и темных колец, что и было подтверждено экспериментально. По мере

30