Волновая оптика и квантовая физика_2010

волновую поверхность для лучей, идущих под углом φ и, со- гласно определению, все точки данной поверхности колеблются в одной фазе. Поэтому отрезок ВС является оптической разно- стью хода между крайними лучами пучка, ВС = = аsinφ. Поде- лим участок ВС на отрезки, равные λ/2 и из точек деления про- ведем плоскости, параллельные АС до пересечения с АВ (эти плоскости перпендикулярны рисунку и поэтому на нем изобра- жены как прямые линии). Эти плоскости поделят щель АВ на равные полоски, которые являются зонами Френеля, т.к. свето-

вые волны, идущие от соседних полосок, имеют разность хода λ/2 (см. рис. 3.6). Если число зон будет четным, они попарно по-

гасят друг друга, и в точке Р будет наблюдаться минимум осве-

щенности. Четное число отрезков на участке ВС соответствует условию аsinφ = ± m λ, где m = 1,2,3… Это условие называется

условием дифракционного минимума. Из него находятся углы,

под которыми наблюдаются дифракционные минимумы на эк- ране. Знак “минус” соответствует лучам, идущим от щели под углом –φ.

Если число зон Френеля нечетно, на экране в точке Р по- лучается дифракционный максимум. Условие дифракционного

максимума имеет вид

аsinφ = ± (2m + 1)λ/2, где m = 1, 2, 3…

Это условие определяет углы, соответствующие макси- мумам освещенности на экране Э2. Число m называется поряд- ком дифракционного максимума или минимума.

В центральной точке экрана О соберутся лучи, идущие в направлении φ = 0, следовательно, без разности хода. В этом на- правлении щель действует как одна зона Френеля, создавая в точке О самый интенсивный максимум нулевого порядка. Это будет светлая полоса, повторяющая форму щели. Дифракцион- ная картина от щели симметрична относительно точки О и ин-

тенсивности максимумов более высоких порядков уменьшаются в пропорции 1 : 0,047 : 0,017 : 0,008…

32

3.5. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Совокупность параллельных щелей одинаковой ширины а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b, ле- жащих в одной плоскости, называется одномерной дифракцион- ной решеткой. В зависимости от практического назначения ди- фракционные решетки различаются по виду, материалу и спо- собу изготовления, а также по количеству щелей N (от 0,25 до 6000/мм). Для наблюдения дифракции в видимом свете широко распространены дифракционные решетки, представляющие со- бой прозрачные стеклянные пластинки, на которые алмазным резцом наносятся тонкие параллельные штрихи, являющиеся непрозрачными промежутками шириной b. Сумма d = а + b на- зывается периодом или постоянной дифракционной решетки. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, па- дающей нормально на поверхность решетки периодом d (рис. 3.7). Параллельно решетке расположим собирающую лин-

b a

φ

L

Рис 3.7. Дифракция света на одномерной решетке

34

зу L, а в ее фокальной плоскости экран Э. Количество щелей в решетке равно N. Любая из щелей при закрытых всех остальных даст на экране спектр, описанный выше. На рис. 3.7 этот спектр обозначен пунктирной линией. Фазы колебаний в каждой точке любой из N щелей совпадают, так как эти точки принадлежат одной волновой поверхности падающей на решетку плоской волны. Следовательно, все щели являются когерентными источ- никами света и между ними возникает многолучевая ин- терференция. Вид спектра в данном случае усложняется (на рис. 3.7 он представлен сплошной линией). Полученное нами ранее условие дифракционного минимума аsinφ = ± m λ будет справедливо и в данном случае. В направлениях углов φ, удов- летворяющих этому условию, ни одна из щелей не будет давать свет, поэтому условие аsinφ = ± m λ является условием главных минимумов для дифракционной решетки. На рис. 3.7 главные минимумы обозначены точками Р1, Р1’ и т.д. В центре экрана точке О соберутся лучи от всех щелей, идущие под углом φ = 0, т.е. без разности хода. В результате сложения их амплитуд суммарная амплитуда в точке О будет в N раз больше, а интен- сивность в N2 раз больше, чем в случае одной щели.

Рассмотрим любую пару соседних щелей, изображенных на рис. 3.7. Разность хода от соответствующих точек обеих ще- лей (например, крайних) = ВС = dsinφ и разность фаз

δ = 2 π dsinϕ . Из условия интерференционного максимума если

λ

dsinφ = ±mλ и δ = ±2πm, колебания от соседних щелей взаимно усилят друг друга. Следовательно, в направлениях, опре-

деляемых углами ϕ = ±arcsin mdλ , любая пара щелей даст макси-

мум. Поэтому условие dsinφ = ±mλ, где m = 0, 1, 2…есть условие главных максимумов дифракционной решетки. Число m опреде- ляет порядок главного максимума. Количество главных макси- мумов в наблюдаемой дифракционной картине будет зависеть

35

от величин d и λ. Так как модуль sinφ не может быть больше единицы, то максимальное число m ≤ d/λ. Положение главных максимумов не зависит от числа щелей N. Многолучевая интер- ференция между более далеко расположенными друг от друга щелями создает на экране между главными максимумами до- полнительные (N-2) максимума, разделенные (N-1) минимумом. Расположение дополнительных минимумов удовлетворяет усло-

вию dsinφ = ± k λ , где k принимает все возможные целочислен-

N

ные значения кроме 0, N, 2N и т. д., так как при них данное ус- ловие совпадает с условием главных максимумов. Дополнитель- ные максимумы очень малы по интенсивности и при больших N становятся практически неразличимыми на фоне ярких главных максимумов.

Если на решетку падает белый свет, то максимумы 1-го и более высоких порядков разложатся в спектры. Максимум для фиолетовых лучей будет располагаться ближе к центру экрана. Центральные нулевые максимумы для всех длин волн будут совпадать и поэтому в центре экрана будет наблюдаться белая полоса. Благодаря способности разлагать в спектр падающее из- лучение, дифракционная решетка широко используется для ис- следования спектрального состава излучения, т.е. для определе- ния длин волн и интенсивностей всех его монохроматических компонентов. По расстояниям между дифракционными линиями при заданной длине волны можно определить период решетки, а по величине интенсивностей максимумов различных порядков изучить структуру рассеивающих центров (в обычной решетке это непрозрачные промежутки шириной b).

Для визуального наблюдения и фотографирования спек- тров применяются дифракционные спектрографы с дифракци- онной решеткой. Они позволяют проводить химический анализ и изучать строение материалов.

36

3.6.Дифракция рентгеновских лучей

В1895 г. немецкий физик В.К.Рентген обнаружил, что при электрическом разряде в вакуумной трубке возникает неви- димое для глаз излучение, обладающее высокой проникающей способностью. Излучение вначале было названо Х-лучами, а за-

тем получило название рентгеновского. Оно занимает диапазон длин волн от 6·10-12 до 2·10-9 м. Рентгеновские лучи вызывают флуоресценцию некоторых веществ, ионизацию газов, оказы- вают фотохимическое и биологическое воздействие на тела. Для наблюдения дифракции рентгеновских лучей необходима ди- фракционная решетка того же порядка d, что и длина волны. Из- готовить решетку такого малого порядка невозможно, однако можно воспользоваться для этой цели кристаллами, которые со-

стоят из упорядоченно расположенных ионов, атомов или моле- кул на расстоянии порядка 10-10м друг от друга. Такие дифрак-

ционные решетки называются пространственными или трех-

мерными.

Идея применить монокристалл для изучения дифракции

рентгеновских лучей принадлежит немецкому физику М.Лауэ (1912 г.). Развивая его идеи, в 1913 г. русский физик Г.В.Вульф

и английский физик У.Л.Брэгг независимо друг от друга пред- ложили простой метод наблюдения и расчета дифракционной картины. Они рассматривали дифракцию рентгеновских лучей, отражающихся от атомов кристаллографических плоскостей. Поскольку данные лучи обладают высокой проникающей спо- собностью, отраженная их часть составляет ничтожную долю лучей, прошедших в кристалл. Однако при условии интерфе- ренционного максимума лучей, отраженных от разных плоско- стей кристалла, можно добиться их значительного усиления.

Разобьем кристалл на ряд параллельных плоскостей, про- ходящих через узлы кристаллической решетки и отстоящих друг от друга на расстояние d (рис. 3.8). Пусть на кристалл падает плоская монохроматическая волна рентгеновского излучения

37

38

3.7. Дисперсия и разрешающая сила спектрального прибора

Основными характеристиками любого спектрального прибора, в том числе и дифракционной решетки, являются его дисперсия и разрешающая сила. От их величин зависит способ- ность прибора пространственно разделить лучи разных длин волн. Линейная дисперсия D определяется как отношение

линиями, а dλ – разность длин волн этих линий. Определение справедливо также для разности частот линий dν. Угловая дис-

ми, отличающимися на dλ или dν соответственно. На рис. 3.9 показаны два луча, идущие под углами φ и φ + dφ, и имеющие длины волн λ и λ + dλ, соответственно.

Для определения угловой дис-

персии дифракционной решетки про- O L

дифференцируем условие главного максимума dsinφ = mλ. Мы получим dcosφ dφ = mdλ,

ного прибора R показывает, какие близкие спектральные линии

39

λ1 и λ2 с разностью длин dλ = λ2 - λ1 можно визуально разделить

линий λ1 и λ2. На рис. 3.10 пунктиром представлены две близкие спектральные линии, а сплошной кривой показаны наблюдае- мые результирующие интенсивности. В случае а) обе линии воспринимаются как одна, в случае б) линии воспринимаются раздельно. Это происходит потому, что возможность визуально- го разделения линий зависит также от их ширины. Согласно критерию, предложенному английским физиком Д.Рэлеем, спек-

тральные линии считаются разрешенными, если максимум од- ной из них совпадает с минимумом другой (рис. 3.10 б).

Рис. 3.10. Результирующие интенсивности при наложении двух близких по длинам волн линий. а – широкие линии; б – узкие линии.

Разрешающая сила дифракционной решетки R пропор- циональна числу щелей N и порядку спектра m, т.е. R = Nm. Приравняв друг другу два выражения для разрешающей силы, мы получим условие разрешимости линий

40