Волновая оптика и квантовая физика_2010

положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра под действием сил Кулоновского притяжения двигаются по замкнутым орбитам электроны (при- мерный радиус орбит - 10-10 м). При этом суммарный заряд электронов равен по величине заряду ядра, поэтому в целом атом нейтрален. При прохождении альфа-частиц через такой атом, только малая часть частиц будет попадать в ядро и рассеи- ваться назад, основная их часть будет проходить на больших расстояниях от ядра и, вследствие малости Кулоновских сил, будут отклоняться на небольшие углы.

Таким образом, планетарная модель атома полностью объяснила эксперименты по рассеиванию. Однако, согласно классической электродинамике, электрон, двигающийся по ор- бите вокруг ядра, должен испускать электромагнитные волны непрерывного спектра частот. При этом он теряет свою энергию и через малый интервал времени (10-8 с) должен упасть на ядро, то есть такой атом нестабилен и имеет очень малое время жиз- ни. Но, как известно, атомы отличаются большим временем жизни. Кроме того, изучение частотного состава излучения (спектров) отдельных атомов в газах, свидетельствует о том, что атомы в невозбужденном (нормальном) состоянии вообще ниче- го не излучают, они излучают электромагнитные волны только после передачи им энергии (при возбуждении), а спектр имеет дискретный характер. Например, в спектре атома водорода было обнаружено несколько серий частот излучения, наиболее из- вестные описываются соотношениями:

1. Серия Лаймана для ультрафиолетового излучения

=1− = 2 3 4 ...

νR , n , , ,

n 2

2.Серия Бальмера для видимого излучения1

91

3. Серия Пашена для инфракрасного излучения

где R-постоянная Ридберга. Эксперименты по изучению спектра поглощения электромагнитного излучения для атома водорода показали, что спектр поглощения тоже имеет дискретный харак- тер. Подобная дискретность спектров была обнаружена у всех атомов. Таким образом, планетарная модель атома требовала серьезных доработок.

Для объяснения спектров излучения и поглощения атома водорода в 1913 г. датский ученый Н. Бор выдвинул три ограни- чения (постулата), которые не соответствовали законам класси- ческой механики:

1.Электрон в атоме может неограниченно долго двигать- ся по некоторым стационарным орбитам без излучения и без по- глащения энергии. Каждой такой орбите можно приписать по- рядковый номер n, называемый квантовым числом.

2.Разрешенными стационарными орбитами в атоме яв- ляются те, при движении по которым электрон имеет строго оп-

ределенный (дискретный) момент импульса L, задаваемый соот-

ношением Ln = meυr = 2πhn = h n, n = 1, 2, 3, ….. (2πh = h ), где момент импульса (равный произведению массы электрона me, его скорости υ и радиуса его орбиты r) связывается с постоянной Планка h и квантовым числом n. Обычно атом находится в ос- новном или невозбужденном состоянии n = 1 с наименьшим значением энергии.

3. При передаче атому энергии он переходит в какое либо возбужденное состояние с n = 2, 3, 4 … (если передача энергии производится с помощью электромагнитного излучения, то про- исходит поглощение атомом порции излучения), в возбужден- ном состоянии атом находится недолго (≈ 10-8 с), затем он ис- пускает порцию (квант) электромагнитного излучения и перехо- дит в какое-либо состояние с меньшим квантовым числом. При

92

всех переходах в соответствии с законом сохранения, энергия кванта ε точно равна разности энергий атома в возбужденном и невозбужденном состояниях ε = En–Em.

При использовании этих постулатов, расчет полной энер- гии атома Е, которая складывается из кинетической энергии вращения электрона и потенциальной энергии электростатиче- ского взаимодействия электрона с ядром, приводит к соотноше- нию En = -hR/n2. Отсюда, используя формулу Планка для кванта

электромагнитного излучения ε = hν и закон сохранения энергии в виде ε = En–Em, можно получить ν = (En–Em)/h = R(1/m2-1/n2), что полностью соответствует результатам экспериментов. Таким

образом, данная модель позволила рассчитывать и объяснять спектры атома водорода, за что в 1922 г. Н. Бор был удостоен

Нобелевской премии по физике. Изложенная выше теория была обобщена (Теория Бора-Зоммерфельда, 1915 г.) для описания "водородоподобных" атомов, содержащих один электрон, дви- жущийся в поле ядра с положительным зарядом (таких как од- нократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий, трехкратно ионизированный бериллий и т.д.), но для бо- лее сложных атомов она оказалась не пригодной.

Вторая серия необычных явлений связана с прохождени- ем элементарных частиц через неоднородные среды, при кото- ром наблюдаются явления дифракции и интерференции. Напри- мер, при рассеянии электронов от поверхности монокристалла никеля получается отчетливая дифракционная картина (опыт Дэвиссона и Джермера). Дифракция пучка электронов при про- хождении через тонкие слои металлов и кристаллов была обна- ружена Томсоном (рис. 8.2). Позднее было обнаружено, что ана- логичное явление дифракции наблюдается также для протонов, нейтронов и даже для молекул водорода при их попадании на кристалл.

93

Рис. 8.2. Схема эксперимента Томпсона по дифракции электронов.

Обнаружена была и интерференция элементарных час- тиц. Например, если направить пучок электронов на две щели, то на экране из фотоимульсии после проявления можно наблю- дать интерференционную картину в виде параллельных полос, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 8.3). Интересно, что при малых интенсивностях электрон- ных пучков наблюдается постепенное формирование интерфе- ренционной картины (рис. 8.3 а – время пропускания мало, рис. 8.3 б – время пропускания большое). Аналогичные результаты были получены и при интерференции других частиц.

Рис. 8.3. Схема эксперимента по интерференции электронов.

94

Таким образом, элементарные частицы в одних условиях проявляют себя как волны (явления дифракции, интерферен- ции), в других же – как отдельные корпускулы (движение элек- тронов в электронно-лучевой трубке, взаимодействие электрона и фотона при фотоэффекте и эффекте Комптона), что не могло быть объяснено в рамках классической механики. Объяснить эти явления удалось в рамках новой теории, называемой волно- вой или квантовой механикой, созданной Луи-де-Бройлем, Гей- зенбергом, Шредингером, Бором и многими другими учеными начала ХХ века.

8.2.Корпускулярно-волновой дуализм свойств микрочастиц. Гипотеза Луи-де-Бройля

Как было показано ранее, электромагнитные волны в не- которых явлениях проявляют корпускулярные свойства (фото- эффект, эффект Комптона, тепловое излучение и др.). Эти явле- ния удалось объяснить, пользуясь теорией Планка. Согласно этой теории, электромагнитные волны являются потоком час- тиц-фотонов или квантов излучения со значением энергии

ε= hν.

В1923 г. Луи де Бройль для объяснения волновых свойств микрочастиц выдвинул гипотезу о том, что микрочасти- цам необходимо сопоставить особые волны. То есть, если мик- рочастице приписать некоторый волновой процесс с длиной волны

где р, m, υ – импульс, масса и скорость частицы, то по формулам для дифракции и интерференции электромагнитных волн можно рассчитать эти явления и для пучков микрочастиц. Эта гипотеза нашла полное подтверждение в вышеупомянутых эксперимен- тах. Эти волны были названы волнами де Бройля. Эксперименты

95

показали, что распространение волн де Бройля не связано с рас- пространением электромагнитных волн и с любыми другими волнами, известными в классической физике. Наблюдаемое по- степенное формирование интерференционной картины показы- вает, что волны де Бройля связаны со статистической природой движения микрочастиц и имеют вероятностное истолкование.

8.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Своеобразие движения микрочастиц, как оказалось, за- ключается также и в том, что их траекторию движения нельзя характеризовать точными значениями координат и скорости (т.е. нельзя определить одновременно положение микрочастицы в пространстве и ее скорость с произвольной точностью). Немец- кий ученый Гейзенберг в 1927 г. установил, что неопределенно- сти или погрешности измерения координаты х и импульса рх (это относится и к другим координатам) удовлетворяют соотно- шениям:

х рх ≥ h, y рy ≥ h, z рz ≥ h.

Подобное соотношение имеется и для неопределенности изме- рения времени какого-либо состояния микросистемы t и ее энергии Е

t Е ≥ h.

Эти формулы называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Эти соотношения объясняются тем, что при измерении одного параметра микрочастицы, второй соответственный пара- метр искажается измерительным прибором и чем точнее изме- ряется один, тем больше искажается второй. Это справедливо и для макрообъектов, но, вследствие их больших масс, воздейст- вие приборов оказывается несущественным. Например, при оп- ределении координат макрообъекта путем локации используют поток фотонов, которые испускаются локатором. Эти фотоны со скоростью света долетают до объекта, отражаются от него и воз-

96

вращаются назад. Зная время движения фотона и его скорость, можно легко определить расстояние до объекта, причем вслед- ствие массивности макрообъекта, его скорость изменится незна- чительно. Если же использовать принцип локации для опреде- ления координаты микрочастицы, то, при отражении от нее фо- тона он передаст ей импульс, сравнимый с импульсом частицы. Это приводит к значительному изменению ее скорости. Подоб- ные изменения соответствующих параметров происходят также при измерении скорости, энергии, времени.

Соотношения неопределенностей позволяют определить границы применимости понятий и законов классической меха- ники к различным объектам, т.е. возможности использования при описании движения понятий координаты и скорости. Учи- тывая, что рх = mυx, можно получить х υх ≥ h/m, откуда следу- ет, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределен- ность ее координаты и скорости и, следовательно, с тем боль- шей точностью можно применять к этой частице понятие траек- тории. Для пояснения рассмотрим два примера.

1. Рассмотрим пылинку массой m = 10-12 кг и линейными размерами 10-6 м и определим для нее неопределенность скоро- сти (неопределенность определения ее координаты примерно равна сотой доли ее размеров т.е. х = 10-8 м). Согласно соотно-

шениям неопределенностей

υх = h/m x = 6,62·10-34/(10-12·10-8) = =6,62·10-14 м/с.

Мы получили неопределенность скорости, которая настолько мала, что не будет сказываться на тех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. В данном случае неопределенности скорости и импульса практически нет, значит, для пылинки можно использовать понятие траектории и законы классической механики.

2. Рассмотрим электрон, движущийся в атоме водорода.

Неопределенность его координаты порядка размера самого ато- ма, т.е. x = 10-10 м. Определим υх:

97

υх = h/m x = 6,62·10-34/(9, 1·10-31·10-10) = 7,3·106 м/с.

Если рассчитать скорость электрона в атоме согласно классиче- ской механике, учитывая, что роль центростремительной силы играет сила Кулона, то скорость получается порядка 2·106 м/с и в данном случае неопределенность больше самой скорости. По- этому нельзя говорить о движении электрона в атоме по опреде- ленной траектории.

8.4. Вероятностный характер движения частиц. Задание состояния микрочастицы. Волновая функция.

Одновременное наличие корпускулярных и волновых свойств у микрочастиц объясняется вероятностным характером их движения. Согласно этому нельзя точно определить некото- рые параметры микрочастицы в любой момент времени. Напри- мер, при любом движении микрочастицы, нельзя одновременно характеризовать ее траекторию точными значениями координат и скорости. В то же время, всегда можно точно рассчитать веро- ятность определенных значений параметров частицы при их из- мерении в эксперименте.

С точки зрения математики, движение таких частиц должно описываться некоторой «особой» волновой функцией, которая должна характеризовать вероятностные особенности микрочастиц. Интерпретацию волновой функции в 1926г. дал немецкий физик М. Борн следующим образом - волновая функ-

ция ψ (х, у, z) характеризует вероятность нахождения части- цы в данный момент времени в некоторой точке пространства.

Согласно Борну, физический смысл имеет не сама функция, а квадрат модуля волновой функции |ψ|2, который при движении микрочастицы в пространстве равен вероятности dP того, что частица будет обнаружена в пределах рассматриваемого малого

объема dV

dP = |ψ|2 dV = |ψ|2dxdydz .

98

где m – масса частицы, i – мнимая единица, ħ = h/2π – приведен- ная постоянная Планка , U– потенциальная энергия частицы, - оператор Лапласа, который представляет собой сумму вторых частных производных по координатам, т.е.

Δψ = ∂ 2ψ2 + ∂2 ψ2 + ∂2 ψ2 . ∂x ∂y ∂z

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. оп- ределяется характером сил, действующих на частицу. Уравне- ние Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также ком- плексная. Ее комплексность никак не затрагивает физичность уравнения, так как реальный физический смысл имеет модуль волновой функции, который всегда действителен.

Уравнение Шредингера, будучи дифференциальным уравнением, может иметь множество решений. Из этих решений физический смысл будут иметь те, в которых волновая функция будет однозначной, непрерывной и конечной. Эти требования должны относиться и к частным производным от нее по времени и координатам, так как они тоже входят в уравнение Шрединге- ра. Кроме этих требований, на волновую функцию накладывает- ся условие нормировки

∫∫∫| ψ |2 dV = 1 ,

∞

которое следует из того факта, что частица реально существует и обязательно находится где-либо в окружающем пространстве. Поэтому суммарная вероятность нахождения частицы во всем бесконечном пространстве равна единице т.е. это достоверное событие.

Смысл и назначение уравнения Шредингера заключается в том, что если известна волновая функция некоторой частицы в начальный момент времени и известно силовое поле, в котором

100