REL исходный с п
.4.pdf
71
в предыдущем параграфе марковские процессы удобно задавать с помощью размеченного графа переходов, который для системы облегченного дублирования с одной ремонтной бригадой имеет вид, представленный на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Размеченный граф переходов для системы облегченного дублирования с одной ремонтной бригадой.
6.2Уравнения для вероятностей состояний.
Для дублированных систем (n = 2) обозначим через
pk (t) = PfX(t) = kg (k = 0; 1; 2)
вероятности состояний процесса. Возможны только два непосредственных перехода из каждого из состояний в соседние. Поэтому уравнение в конечных разностях для системы ненагруженного дублирования имеет вид
p0(t + ) = p0(t) (1 ( + ) ) + p1(t) + o( );
p1(t + ) |
= |
p0(t) ( + ) + p1(t) ( + ) + p2(t) + o( ); |
p2(t + ) |
= |
p1(t) + p2(t) + o( ): |
9
=
;
Откуда, после простых алгебраических преобразований и перехода к пределу при ! 0, найдем
p0 |
(t) = |
|
( + ) p |
(t) + p |
(t); |
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
p0 |
(t) = ( + ) p |
(t) |
|
( + )p |
(t) + p |
(t); |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
p0 |
(t) = p |
(t) |
|
p |
(t): |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9
=
(1)
;
72
Эта система должна решаться при некоторых начальных условиях, которые для исправной в начальный момент времени t = 0 системы имеют вид
p0(0) = 1; p1(0) = p2(0) = 0: |
(2) |
Эту систему можно получить непосредственно из графа переходов (рис. 6.1) пользуясь правилом составления дифференциальных уравнений для вероятностей состояний марковского процесса, приведенным в разделе 5.4
Аналогичные уравнения для систем нагруженного и ненагруженного дублирования с одной ремонтной бригадой получаются из приведенных выше, если в них положить = и = 0 соответственно.
6.3Стационарные вероятности. Вероятность отказа
Обозначим через k = lim pk (t) предельные (стационарные) вероят-
t!1
ности состояния системы. Для системы облегченного дублирования с одной ремонтной бригадой они должны удовлетворять системе алгебраических уравнений
( + ) 0 |
( + ) 1 |
+ 2 |
= |
0; |
9 |
(3) |
||
|
|
( + ) 0 |
+ 1 |
= 0; |
= |
|
||
|
|
1 |
|
2 |
= |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
Получившаяся система является системой однородных уравнений с вырожденным определителем. Чтобы получить единственное ее решение, ее следует дополнить уравнением нормировки,
0 + 1 + 2 = 1: |
(4) |
В данной системе из 4-х уравнений с 3-мя неизвестными одно из первых трех уравнений лишнее. Для решения этой системы выразим из первого и последнего из этих уравнений вероятности 0 è 1 через
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 = |
2; 0 |
= |
1 |
= |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ |
+ |
|||||||||
73
и обозначим через = коэффициент восстанавливаемости си- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
стемы, а через = коэффициент облегчения резерва. Тогда из |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений (3) с учетом уравнения нормировки (4) найдем |
|
||||||
|
2 |
|
(1 + ) |
|
|
||
0 = |
|
; 1 = |
|
|
|
; |
|
(1 + )(1 + ) + 2 |
(1 + )(1 + ) + 2 |
|
|||||
|
|
2 = |
|
1 + |
: |
(5) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1 + )(1 + ) + 2 |
||||
Наконец, т.к. состояние 2 совпадает с отказовым состоянием, то
вероятность отказа системы pотк. равна: |
|
|
|
pîòê. = 2 = 1 k = |
1 + |
: |
(6) |
|
|||
(1 + )(1 + ) + 2 |
|||
Соответствующие стационарные характеристики для систем нагруженного и ненагруженного дублирования получаются из приведенных выше при = 1 и = 0 соответственно.
6.4Функция надежности восстанавливаемой системы.
Напомним, что время Tf работы системы до до первого отказа определяется как время работы полностью исправной системы до первого
^
отказа. Определим также время Tf между отказами как время после момента (частичного) восстановления системы до момента следующего отказа. Распределения этих СВ отличаются начальным состоянием системы. Для их вычисления модифицируем несколько рассматриваемый процесс X(t), поместив в состояние 2 поглощающий экран, т.е. запретив выход из этого состояния, и обозначим новый
^
процесс через X(t). Тогда распределение времени до первого отказа исходной системы совпадает с вероятностью модифицированной системы находиться в состоянии 2,
^ |
(7) |
Ff (t) = PfTf tg = PfX(t) = 2g: |
Граф переходов модифицированного процесса для системы облегченного дублирования с одной ремонтной бригадой представлен на рис. 6.2.
74
Рис. 6.2. Размеченный граф переходов для
^
модифицированного процесса X(t).
Поэтому, согласно правилу составления дифференциальных уравнений для вероятностей состояний марковских процессов (см. п. 5.4), система дифференциальных уравнений для вероятностей его состояний имеет вид
p0 |
(t) = |
|
( + ) p |
(t) + p |
(t); |
|
||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
p0 |
(t) |
= ( + ) p |
(t) |
|
( + ) p |
(t); |
||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
p20 (t) |
= |
p1(t); |
|
|
|
|
|
|
||
9
=
;(8)
;
которую следует решать с прежним начальным условием |
|
p0(0) = 1; p1(0) = p2(0) = 0: |
(9) |
Для решения этой системы воспользуемся методом преобразова-
ний Лапласа |
1 e st pk (t) dt: |
p~k (s) = Z0 |
Так как последнее из уравнений (8) решается простым интегрированием, то, переходя в первых двух уравнениях системы (8) к преобразованиям Лапласа и замечая, что
Z 1 Z 1
e st p0k (t) dt = e st pk (t)j10 + e st pk (t) dt = sp~k (s) pk (0);
0 0
75
для функций p~k (s) получим с учетом начальных условий (9) систему алгебраических уравнений
Записывая последнюю систему в виде |
: |
( + + s) p~0(s) p~1(s) = 1; |
|
( + ) p~0(s) + ( + + s) p~1(s) = 0; |
|
s p~0(s) 1 = ( + ) p~0(s) + p~1(s) |
|
s p~1(s) = ( + ) p~0(s) ( + ) p~1(s) |
|
|
|
легко найти ее решение, например, по правилу Крамера,
p~1(s) |
= |
( + +s)( + +s) ( + ) |
) |
p~0(s) |
= |
+ +s |
|
|
|
( + +s)( + +s) ( + ) |
: |
|
|
+ |
|
(10)
(11)
Для вычисления обратного преобразования разложим функцию p~1(s) на простые дроби
p~1(s) = |
A1 |
+ |
A2 |
(12) |
s + s1 |
s + s2 |
и вычислим коэффициенты этого разложения из системы уравнений
A1s2 + A2s1 |
= |
|
; |
(13) |
A1 + A2 |
= |
0 |
|
|
ãäå s1; s2 корни знаменателя выражения для p~1(s) (характеристи- ческого уравнения системы (10)),
( + + s) ( + + s) ( + ) = s2 + (2 + + ) s + ( + ) = 0;
взятые, для наглядности, со знаком "минус", равные в данном слу- чае в терминах безразмерных коэффициентов и
s1;2 = |
|
(2 + + p( + )2 + 4 ): |
(14) |
2 |
Переходя теперь в (12) к обратным преобразованиям, найдем
p1(t) = A1e s1 t + A2e s2 t:
76
Откуда простым интегрированием получим ФР длительности до первого отказа системы, которая после подстановки значений коэффициентов A1 è A2 примет вид
Ff (t) = p2(t) = Z0 |
t |
|
s2 |
e s1t 1 |
s1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
p1(u) du = 1 |
|
|
e rt |
(15) |
|||
|
r |
s2 |
||||||
p
ãäå r = s2 s1 = ( + )2 + 4 . Наконец, для функции надежности системы получим выражение
|
2 |
1 |
s1 |
: |
|
||
Rf (t) = 1 p2(t) = |
|
e s1t |
|
e rt |
(16) |
||
s1r |
s2 |
||||||
Заметим, что выражения (15) и (16) для ФР длительности до первого отказа и функции надежности сохраняется также для систем нагруженного и не нагруженного дублирования. Изменяются лишь характеристическое уравнение (13) и соответственно значения (14) его корней.
Вычисления показывают, что средние длительности безотказной работы системы облегченного дублирования без восстановления ^f и с восстановлением f равны соответственно
^f |
= |
1 |
+ |
1 |
= |
2 |
+ |
1 |
для систем без восстановления; |
|
+ |
|
1 |
+ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
^f |
= |
|
1 |
для систем с восстановлением: |
||||||
|
||||||||||
1 + |
||||||||||
Таким образом, коэффициент
= = среднее время работы ;
среднее время ремонта
ãäå T = 1 = 1 среднее время наработки на отказ и среднее время ремонта элемента соответственно, определяет эффективность восстанавливаемых систем по отношению к невосстанавливаемым.
В таблице 6.1. в конце параграфа приведены по [8] основные характеристики дублированных систем с восстановлением и без восстановления при различных вариантах резервирования и восстановления, с нагруженным, не нагруженным и облегченным резервом, с одной и двумя ремонтными бригадами, с восстановлением и заменой отказавшего изделия.
77
6.5Примеры. Упражнения
Упражнения. ([6], стр. 204)
1. Имеется дублированная система с ненагруженным резервом. Каждая из подсистем состоит из двух последовательно соединенных элементов с постоянными интенсивностями отказов 1 = 1 10 2 (1/÷àñ.) è 2 = 3 10 2 (1/час.). Система восстанавливается после отказа обеих подсистем. Длительностью восстановления можно пренебречь. Требуется вычислить среднее число отказов за время t = 100 час. Построить график зависимости среднего числа отказов в единицу времени от времени работы.
Ответ:
H(100) = 2t 14 + 14 e 2t 2; 75 отказов;
ãäå = 1 + 2. Зависимости h(t) = 2 (1 e 2t) от времени работы приведены на рисунке 6.3.
2. По условиям задачи 1 найти среднее число восстановлений за время t при экспоненциальном законе распределения суммарной длительности восстановления обеих подсистем с параметром = 1 (1/час). Построить график зависимости среднего числа восстановлений в единицу времени от времени работы.
Ответ:
H(100) 1; 70 восстановлений.
Зависимость h(t) от времени работы приведена на рисунке 6.4.
3. По условиям задачи 1 определить среднее число восстановлений за время t и в единицу времени при экспоненциальном законе распределения длительности восстановления каждой подсистемы с параметром = 1(1=час); если подсистемы восстанавливаются по- очередно.
78
рис. 6.3. Зависимость h от t |
|
|
рис. 6.4. Зависимость h от t |
||||||||||||||
к упражнению 1. |
|
|
|
|
|
|
к упражнению 2. |
||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
( + )2 + |
|
|
|
|
|
||||||||
H(t) = |
|
|
|
4( + )2 |
|
+ |
|
|
e ( + )t + |
||||||||
2( + ) |
|
2( + )2 |
|||||||||||||||
+ (s1 s2) h s12 ( + ) s1 |
|
s22( + s2 ) i |
|||||||||||||||
|
|
|
2 2 |
e s1 t |
|
|
|
|
|
|
e s2t |
||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + 2 =p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
s |
1;2 |
= [( + ) |
|
2 |
|
6 + 2]=2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1/÷àñ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||
H(100) 1; 65 ( восстановлений); h(100) 1; 0192 ( восстановлений/час);
h(t) = |
|
[1 e ( + )t]+ |
2 2 |
|
e s1t |
|
e s2t |
|
2( + ) |
s1 s2 |
s1( + s1) |
s2( + s2) |
4. По условиям задачи 1 рассмотреть случай двух резервных подсистем. Построить зависимость среднего числа отказов в единицу времени от времени работы.
Ответ:
H(t) = |
1 |
n( 1 |
+ 2)t 1 + e |
3 |
( 1+ 2 )t |
|
2 |
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|||
|
"cos |
( |
1 |
+ |
)tp |
|
|
1 |
|
( 1 |
|
|
)tp |
|
|
#) ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
+ p |
|
sin |
+ 2 |
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)tp |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
+ |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 + |
|
3 |
|||||||||||||
h(t) = |
|
|
|
|
|
(1 e 2 ( 1+ 2 )t "cos |
2 |
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)tp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
p3sin |
( 1 + 2 |
|
|
|
|
#) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ïðè t = 100 (÷àñ), 1 = 10 2 |
|
(1/÷àñ) è 2 |
= 3 |
10 2 (1/÷àñ), |
||||||||||||||||||||||||||||
H(t) 1 (отказ), h(t) 0; 0133 (отказ/час).
Зависимость h(t) от времени приведена на рисунке 6.5.
рис. 6.5. Зависимость h от t.
5. Вычислить коэффициент готовности и среднее время до первого отказа дублированной системы с нагруженным резервом одной и двумя ремонтными бригадами.
80
Литература к гл.I
[1]Надежность систем энергетики. Терминология. Сборник рекомендуемых терминов, вып. 95. М.: "Наука", 1980, 43с.
[2]Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. Математические методы в теории надежности. М.: "Наука", 1965, 524с.
[3]Р. Барлоу, Ф. Прошан. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: "Наука", 1984, 327с.
[4]М.Г. Сухарев. Марковские процессы (прикладные аспекты). М.: ГАНГ им. И.М. Губкина, 1994, 98с.
[5]Б.А. Козлов, И.А. Ушаков. Справочник по расчету надежности. М.: Советское радио, 1975, 471с.
[6]Сборник задач по теории надежности (под ред. А.М. Половко
èИ.М. Маликова). М.: "Советское радио", 1972, 407с.
[7]Д.Р. Кокс, В.Л. Смит. Теория восстановления (пер. с англ. В.В. Рыкова и Ю.К. Беляева). М.: Советское радио, 1976, 299с.
[8]В.В. Рыков. Некоторые математические методы резервирования. Труды ЦНИИКА. Вып. 8, с. 157-183. М.: ЦНИИКА, 1964.
[9]И.Герцбах. Теория надежности с приложениями к профилактическому обслуживанию. М.: "Нефтегаз", 2003, 263с.