REL исходный с п
.4.pdf11
Обратно, для R(t) = PfT > tg из соотношения (15) имеем уравнение
R(t + x) = R(t)R(x);
которое с учетом R(0) = 1 в классе непрерывных функций имеет единственное решение R(t) = e t с некоторым положительным параметром > 0. |
Средняя длительность жизни (наработка на отказ) и дисперсия для этого распределения равны соответственно
T = MT = 1; T2 = DT = 2: |
(16) |
1.3.2 Нормальный закон надежности
Так как длительность безотказной работы неотрицательная вели- чина, то в качестве нормального закона надежности используется усеченное нормальное распределение, которое, наоборот, описывает распределения длительности безотказной работы изделий, подверженных постепенным отказам. Для пояснения этого утверждения заметим, что если отказ изделия наступает по мере выхода некоторого физического параметра a за допустимые пределы, и этот параметр меняется со временем по некоторому детерминированному закону a = f (t; a0), а его начальное значение a0 случайно и распределено по нормальному закону, то момент отказа изделия (достижения параметром a критического значения a1) также имеет нормальное распределение. Действительно, в описанных условиях момент отказа изделия является решением уравнения
f (T; a0) = a1:
Обозначая через '(a1) функцию, обратную к f (t; a0); из этого уравнения найдем
T = '(a1; a0):
Раскладывая теперь функцию '(a1; a0) по переменной a1 в ряд Тейлора в окрестности точки a = Ma0 и пренебрегая членами выше второго порядка малости, получим
T = '(a1; a) + '0a (a1; a)(a a0):
12
Отсюда следует, что если параметр a0 имеет нормальное распределение, то и момент отказа T также должен иметь нормальное распределение. При этом, т.к. длительность безотказной работы не может быть отрицательной величиной, рассматривают усеченное нормальное распределение. Для этого закона распределения длительности безотказной работы функция надежности имеет вид
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R(t) = |
P |
fT > tjT > 0g = |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; t 0; (17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где здесь и далее постоянно используется обозначение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
e |
u2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x) = |
p |
|
|
2 |
du |
|
|
|
(18) |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для функции стандартного нормального распределения, а > 0 и> 0 положительные параметры. При этом если, как обычно
бывает, << , то полагая = 1 можно пользоваться прибли-
женным равенством
t
:
Можно показать, что опасность отказа для этого закона надежности монотонно возрастает и после точки приближается к наклонной асимптоте y =
Средняя длительность безотказной работы (наработка на отказ) изделия и ее дисперсия для этого закона надежности в предположении < < равны соответственно:
T = MT = T2 = DT = 2: |
(19) |
13
Рис. 1.3. Функция опасности отказа для усеченного нормального закона надежности.
1.3.3 Закон надежности Вейбулла Гнеденко
Функция надежности для этого закона равна
R(t) = e t |
ïðè t |
|
0 |
(20) |
|
|
|
|
с параматрами > 0 и > 0, а опасность отказа равна
(t) = t 1 |
ïðè t |
|
0 |
(21) |
|
|
|
|
и имеет вид, представленный на рис. 1.4
14
Рис. 1.4. Опасность отказа для закона Вейбула Гнеденко.
Показательный закон надежности является частным случаем закона Вейбулла Гнеденко при = 1. Средняя длительность безотказной работы (наработка на отказ) и ее дисперсия для этого закона равны соответственно
|
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
2 |
|
2 |
|
1 + |
1 |
|
|
|||
M |
|
|
|
|
|
2 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
T |
= |
T = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
T = T = |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
: (22) |
||||||
1.3.4 Гамма-распределение
Функция надежности для гамма - распределения длительности безотказной работы равна
1 x 1 |
|
|
R(t) = tZ |
( ) e xdx ïðè t 0; |
(23) |
где > 0 и > 0 параматры, а
Z 1
( ) = x 1e xdx
0
15
гамма-функция.
Опасность отказов для этого закона надежности в явном виде не выписывается, а плотность распределения равна
|
t 1 |
|
|
f (t) = |
( ) e t |
ïðè t 0: |
(24) |
Средняя длительность безотказной работы (наработка на отказ) и ее дисперсия для этого распределения равны соответственно
|
|
|
T = MT = |
|
; |
|
T2 = DT = |
|
: |
|
(25) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3.5 Логарифмически нормальный закон надкжности |
|||||||||||||||||||||||||
Функция надежности в этом случае имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 Z t |
|
|
||||||||||||||||||||||
R(t) = |
1 |
|
|
e |
x2 |
dx = 1 |
|
|
|
1 |
ln |
t |
|
= |
|
ln ln t |
(26) |
||||||||
|
|
ln |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с параметрами и , а средняя наработка на отказ равна |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T = MT = e |
2 |
|
|
|
|
|
(27) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.3.6 Закон надежности Релея |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Функция надежности в этом случае имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R(t) = e |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(28) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
с параметром , а средняя наработка на отказ равна |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T = MT = r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16
1.3.7 Равномерный закон надежности
Распределение длительности безотказной работы различных изделий часто удобно аппроксимировать равномерным на некотором отрезке распределением. Его функция распределения задается соотно-
шением |
|
|
ïðè t < a, |
|
0; |
|
|
||
F (t) = ( |
t |
; |
ïðè a t b, |
(30) |
b a |
||||
1; |
|
ïðè t > b, |
|
|
где a и b параметры распределения. Функция опасности отказа для этого распределения определяется формулой
0; |
|
ïðè t < a, |
|
(t) = ( |
1 |
; |
ïðè a t b, |
b a |
|||
не определена, |
ïðè t > b, |
||
а средняя наработка на отказ и ее дисперсия равны
|
|
= |
a + b |
; |
2 |
= |
(b a)2 |
: |
T |
|
|
||||||
|
2 |
|
T |
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
(31)
(32)
1.3.8 Степенной закон надежности
Этот закон характеризуется следующей функцией надежности
R(t) = |
1 |
|
|
; ïðè t > 0 |
(33) |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
1 + |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
с параметрам и > 0 и > 0.
Наработка на отказ в этом случае конечна при > 1 и равна
T = |
|
: |
(34) |
1 |
1.3.9 Стареющие изделия
Стареющими называют изделия с возрастающей опасностью отказов. Для них характерны постепенные отказы. Используя свойство возрастания функции опасности отказов можно получить ряд полезных оценок надежности стареющих изделий.
В таблице 1.1 в конце параграфа представлены модели наиболее распространенных законов надежности изделий и их основные характеристики.
17
1.4Примеры. Упражнения
Пример 1 ([6], стр. 37). Время безотказной работы гироскопиче- ского устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла Гнеденко (20) с параметрами= 1; 5; = 10 4. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства к моменту t = 100(:) времени его работы.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы по формуле (20) (см. также табл. 1.1)
R(t) = e t :
Подставляя значения ; t и из условий задачи, получим
R(100) = expf10 4 1001;5g = 0; 9:
2. Частота и опасность отказов определяются по формулам (3), (6) или (21) для закона распределения Вейбулла Гнеденко,
f (t) = t 1 e t |
|
|
(t) = |
f (t) |
= t 1 : |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R(t) |
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
f (100) = 10 4 1; 5 1000;5 |
|
0; 9 = 1; 35 |
10 3 |
|
|
; |
|||||||||
÷àñ |
|||||||||||||||
è |
|
|
|
0; 9 |
|
|
3 |
= 1; 5 |
10 3 ÷àñ : |
||||||
(100) = R(100) = |
|
|
|||||||||||||
|
f (100) |
|
1; 35 |
10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
3. Вычислим среднюю наработку до первого отказа по формуле (21), T = 1= 1 + 1 . Обращаясь к таблицам гамма - функции для значения x = (1= ) + 1 = (1=1; 5) + 1 1; 67 в нашем случае найдем (x) = 0; 9033. Подставляя в выражение для T значение гамма - функции и параметры распределения и , получим
T = 0; 9033=(10 4)1=1;5 418():
18
Пример 2 ([6], стр. 38). Допустим, что в результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде
f (t) = c1 1e 1t + c2 2e 2t:
Требуется определить все количественные характеристики надежности.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формул (2), (3) имеем
R(t) = 1 Zt f (u)du = 1 |
2Zt c1 1e 1u du + Zt c2 2e 2udu3 |
= |
|||||||
0 |
|
4 |
0 |
|
|
0 |
|
5 |
|
= 1 c1e 1 t + c1 c2e 2t + c2 |
= |
|
|||||||
= 1 |
|
(c |
+ c |
) + c |
e 1t + c |
e 2t : |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
R
Вычислим сумму c1 + c2. Òàê êàê f (t) dt = 1, òî
0
11
Z Z
c1 1e 1tdt + c2 2e 2tdt = c1 + c2 = 1:
0 |
0 |
Тогда
R(t) = c1e 1t + c2e 2t :
2. Найдем зависимость опасности отказов от времени по формуле (6):
(t) = f (t) = c1 1e 1t + c2 2e 2 t : R(t) c1e 1t + c2e 2t
3. Определим нараблотку на отказ. На основании формулы (9) имеем
1 |
1 |
1 |
|
c1 |
|
c2 |
|
|
T = Z0 |
R(t)dt = c1 Z0 |
e 1 tdt + c2 Z0 |
e 2 tdt = |
+ |
: |
|||
1 |
2 |
Упражнения. Приводимые ниже упражнения взяты из задач- ника [6], стр. 53 57.
19
1.Интенсивность отказов изделия постоянна и равна = 0; 82 10 31=час. Необходимо найти вероятность безотказной работы в те- чение 6 час., R(6), частоту отказов f (100) при t = 100 час. и нара-
ботку на отказ, T .
Ответ: R(6) = 0; 995; f (100) = 0; 75 10 31=÷àñ; T = 1220 ÷àñ.
2.Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течение 120 час. равна 0,9. Предполагается, что справедлив показательный закон надежности. Требуется рассчитать опасность отказа, частоту отказов линии для момента времени t = 120 час и наработку на отказ.
Ответ: = 0; 83 10 31=÷àñ; f (120) = 0; 747 10 31=÷àñ; T = 1200÷àñ:
3.Средняя наработка на отказ автоматической системы управления равна 640 час. Предполагается, что справедлив показательный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час, частоту отказов для момента времени 120 час. и функцию опасности отказов.
Ответ: R(120) = 0; 83; f (120) = 1; 3 10 31=÷àñ; = 1; 56 10 31=÷àñ:
4.Время работы изделия подчинено усеченному нормальному закону с параметрами T = 8000час; = 1000час. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течение 8000 час.
Ответ: R(8000) = 0; 5:
5.Используя данные задачи 4, вычислить частоту отказов для t = 6000 час.
Ответ: f (6000) = 5; 4 10 5 1/÷àñ.
6.Используя данные задачи 4, определить опасность отказа для t = 10000 час.
Ответ: (10000) = 2; 35 10 3 1/÷àñ.
7.Используя данные задачи 4, вычислить среднюю наработку на отказ.
Ответ: T = 8000 ÷àñ.
20
8. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота отказов имеет вид f (t) = 2 e t(1 e t). Необходимо определить количественные характеристики надежности:
R(t); (t); T .
Ответ:
R(t) = 2e t |
|
e 2 t; |
(t) = |
(1 e t) |
(1/÷àñ); |
|
|
= |
3 |
|
(÷àñ): |
|
1 21 e t |
T |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||