REL исходный с п

21

Ÿ 2 Характеристики надежности восстанавливаемых изделий

Если в предыдущем параграфе рассматривались характеристики надежности изделий до первого отказа, то в настоящем параграфе обратимся к изучению надежности изделий, рассматриваемых как единое целое с точки зрения их надежности, в предположении, что отказавшие изделия восстанавливаются (ремонтируются) или заменяются. Начнем рассмотрение со случая мгновенных замен отказавших изделий.

2.1Характеристики надежности мгновенно восстанавливаемых изделий

2.1.1 Процесс восстановления. Определение

Рассмотрим изделие, работающее непрерывно во времени и предположим, что отказавшее изделие мгновенно заменяется новым идентичным изделием. В этом случае нас будут интересовать такие характеристики, как моменты наступления некоторого, скажем n-го, отказа, число замен изделий за некоторое фиксированное время t и т.д. Обозначим через fTn; n = 1; 2; : : :g последовательность длительностей безотказной работы изделий. Эти величины предполагаются независимыми одинаково распределенными (НОР) СВ. Тогда последовательность

образует последовательность моментов времени отказов изделий, а процесс

представляет собой число их замен к моменту времени t. Последовательность fSn; n = 1; 2 g называется потоком отказов, а процесс fN (t); t > 0g процессом восстановления. Рассмотрим основные характеристики этих процессов.

22

2.1.2 Распределение моментов отказов

Так как моменты отказов определяются через суммы НОР СВ, то согласно законам теории вероятностей их распределения вычисляются с помощью формулы сверток:

2.1.3 Распределение числа восстановлений

Распределение числа восстановлений легко вычисляется, исходя из эквивалентности событий

Т.к. вероятности эквивалентных событий совпадают, то из последнего соотношения найдем

где свертка F ( n)(t) определяется соотношением (4).

2.1.4 Асимптотические свойства процесса восстановления

Из курса теории вероятностей хорошо известны закон больших чисел (ЗБЧ) и центральная предельная теорема (ЦПТ) для сумм НОР СВ. Так как поток отказов представляет собой последовательность сумм независимых СВ, то для них справедливы ЗБЧ и ЦПТ.

Теорема 1 (ЗБЧ). Если T < 1, то при t ! 1 имеет место по вероятности, а при T2 < 1 и с вероятностью 1 предельное соотношение

lim Sn = T : |

n!1 n

23

Теорема 2 (ЦПТ). Если T < 1 è T2 < 1, òî ïðè t ! 1

имеет место сходимость по распределению

где (x), как всегда, означает функцию стандартного нормального распределения, задаваемую формулой (1.18). |

Что касается асимптотического поведения самого процесса восстановления, то соотношение (6), связывающее процесс восстановления N (t) с потоком отказов Sn, позволяет перенести на эти процессы закон больших чисел и центральную предельную теорему.

Теорема 3 (ЗБЧ). Если T < 1, то при t ! 1 имеет место по вероятности, а при T2 < 1 и с вероятностью 1 предельное соотношение

lim Nt = 1 : |

n!1 t T

Теорема 4 (ЦПТ). Если T < 1 è T2 < 1, òî ïðè t ! 1

имеет место сходимость по распределению

lim Ntp MNt = N (0; 1);

n!1 DNt

где здесь и далее через N (0; 1) обозначается стандартная нормальная СВ с распределением (x) (см. (1.18)). |

Пользуясь правилом 3-х сигма, последнее соотношение позволяет дать достаточно хорошую оценку 99% доверительного интервала для числа восстановлений в любом промежутке времени.

2.1.5 Функция восстановления

Одной из важнейших характеристик процесса восстановления является его математическое ожидание, или среднее число восстановлений за время t,

24

которое называется функцией восстановления. Для вычисления функции восстановления удобно воспользоваться соотношением

из которого следует, что функция восстановления удовлетворяет уравнениям, которые называются прямым и обратным уравнениями восстановления,

Если распределение времени безотказной работы изделия F (t) имеет плотность f (t), то функция восстановления H(t) дифференцируема, и ее производная

называется плотностью восстановления. С прикладной точки зрения плотность восстановления представляет собой (мгновенную) интенсивность потока отказов, которая является одной из важнейших характеристик надежности восстанавливаемых изделий и определяется как среднее число отказов в единицу времени, или, более строго, соотношением

которое и определяет плотность восстановления.

Дифференцируя соотношение (10), нетрудно показать, что плот-

которые называются соответственно прямым и обратным уравнениями восстановления для плотности восстановления.

Для решения этих уравнений удобно воспользоваться операционным методом (или методом преобразований Лапласа). А именно, переходя в этих уравнениях к преобразованиям Лапласа,

Z Z

~ st ~ st

h(s) = e h(t)dt; f (s) = e f (t)dt;

26

В случае, когда распределение имеет плотность, утверждение теоремы можно усилить.

Следствие 1. Если распределение F ( ) абсолютно непрерывно (имеет плотность), то и функция восстановления дифференцируема, а для ее плотности h(t) = H 0(t) в условиях теоремы 1 справедливо представление

Элементарная теорема восстановления допускает значительные обобщения для частных, но наиболее распространенных на практике, случаев непрерывных и дискретных распределений, часто используемые на практике.

Теорема 2 (Узловая теорема восстановления, или теорема Смита). Если F (t) абсолютно непрерывное распределение,т.е.

имеет плотность, < 1 и g(:) некоторая интегрируемая функ-

1

R

öèÿ, ò.å. g(u) du < 1, òî

0

t1

Замечание 2. Аналогичные утверждения справедливы для дискретных распределений, используемых, когда время измеряется в дискретных единицах. При этом формула (16) заменяется на

Функция восстановления обладает тем важным свойством, что многие характеристики процесса восстановления выражаются через нее. В частности, используем эту функцию для изучения следующих двух важных для анализа восстанавливаемых изделий процессов.

27

2.2Возраст и остаточное время жизни изделия

В процессе эксплуатации изделий приходится иметь дело с изделием, "возраст"которого непрерывно меняется. В связи с этим меняются и его характеристики надежности. Поэтому наряду с потоком отказов Sn и процессом восстановления N (t) целесообразно рассмотреть еще два процесса

первый из которых называется возрастом, а второй остаточным временем жизни изделия, работающего в момент t. Отметим, что с этими величинами связаны некоторые парадоксы. Например, оче- видно соотношение

однако не следует думать, что MZ (t) ; MZ+(t) èëè M(Z (t) + Z+(t)) = . Это связано с тем, что случайный интервал в правой части соотношения (19) имеет случайный индекс.

Представляет интерес исследование распределений процессов Z (t) и Z+(t). Для их вычисления обозначим через G (t; x) функции распределения соответствующих величин на отдельном случайном интервале Tn,

В следующей далее теореме содержится выражение для распределений процессов Z (t); Z+(t) через их распределения G (t; x) на отдельном интервале и функцию восстановления H(t).

Теорема 5. Распределения возраста и остаточного времени работы изделий имеют вид

где H(t) функция восстановления, порожденная потоком отказов fSn; n = 1; 2; : : :g.

28

Доказательство. По формуле полной вероятности имеем

X

P(Z (t) x) = G (t; x) + PfZ (t) x; Sk t < Sk+1g:

k 1

Воспользовавшись теперь формулой полной вероятности относительно СВ Sk во втором слагаемом и меняя порядок суммирования и интегрирования, найдем с учетом, что H(t) = P PfSk tg,

k 1

PfZ (t) xg = G (t; x)+

t

Z

X

+PfZ (t) x; Sk t < Sk+1 j Sk = ug dP(Sk u) =

k 1 0

t

Z

= G (t; x) + G (t u; x) dH(u):

0

Последняя формула совпадает с (21) и дает представление распределений СВ Z+(t) и Z (t) через их распределения на отдельных случайных интервалах Tn; n 1 и функцию восстановления H(t).

|

Приведем теперь выражения для распределений процессов на отдельном интервале между восстановлениями

Лемма. Для распределений процессов Z (t) на отдельном интервале между восстановлениями Tn справедливы представления

где через 1ft xg обозначена индикаторная функция множества ft xg,

29

Доказательство. Действительно, так как на отдельном интервале Tn, то есть совместно с событием ft < Tng, для величин Z (t); Z+(t) справедливы представления Z (Sn 1 + t) = t; Z+(Sn 1 + t) = Tn t, то для G (t; x) имеем:

G (t; x) = PfZ (Sn 1 + t) x; t < Tng =

= Pft x; t < Tng = 1ft xg(1 F (t));

G+(t; x) = PfZ+(Sn 1 + t) x; t < Tng =

= PfTn t x; t < Tng = F (t + x) F (t);

что завершает доказательство. |

Оказывается, что при t ! 1 процессы возраста и остаточного времени работы сходятся к стационарным процессам. Другими словами существуют пределы

lim PfZ (t) xg;

t!1

при этом оказывается, что предельные распределения возраста и остаточного времени жизни элемента совпадают между собой и имеют вид распределения времени между отказами стационарного процесса восстановления.

Теорема 6. При t ! 1 распределения возраста и остаточного времени работы изделия сходятся к стационарным,

Доказательство. Так как F (t) ! 1 при t ! 1, то ясно, что

существует предел:

lim G (t; x) = 0:

t!1

Кроме того функции G (t; x) удовлетворяют условиям узловой теоремы восстановления Смита. Поэтому существуют пределы:

30

2.3Характеристики надежности восстанавливаемых изделий с учетом времени замен

В реальной ситуации замена изделия требует некоторого времени для обнаружения, локализации неисправности и фактической его замены. Предположим поэтому теперь, что помимо длительностей безотказной работы изделий fTn; n = 1; 2; : : :g задана последовательность fTn0 ; n = 1; 2; : : :g длительностей их восстановлений (ремонтов, замен), представляющх собой последовательность НОР СВ, и обозначим их общую ФР через

G(t) = PfTn0 tg:

С точки зрения работоспособности восстанавливаемого изделия основной характеристикой его надежности является - коэффициент готовности Kг(t). Коэффициентом готовности изделия называется доля времени работоспособного состояния изделия за время его эксплуатации. Формально эта величина определяется отношением

Kã(t) = время работы изделия за время t : t

Дополнительная величина

называется коэффициентом простоя изделия.

Если устремить время к бесконечности то согласно эргодическим теоремам теории вероятностей эти величины сходится к стационарным, неслучайным величинам,