Этапы решения задачи
3. Разделение ячеек на базисные и свободные
Ячейки (клетки) транспортной таблицы с ненулевыми перевозками называются базисными, а клетки с нулевыми объемами перевозки — свободными.
|
B1, 20 кг |
B2, 30 кг |
B3, 30 кг |
B4, 10 кг |
|
A1, 30 кг |
С11=2 руб./кг, |
С12=3 руб./кг, |
С13=2 руб./кг |
С14=4 руб./кг |
|
X11=20 кг |
Х12=10 кг |
||||
|
|
|
|||
A2, 40 кг |
С21=3 руб./кг |
С22=2 руб./кг, |
С23=5 руб./кг, |
С24=1 руб./кг |
|
Х22=20 кг |
Х23=20 кг |
||||
|
|
|
|||
A3, 20 кг |
С31=4 руб./кг |
С32=3 руб./кг |
С33=2 руб./кг, |
С34=6 руб./кг, |
|
Х33=10 кг |
Х34=10 кг |
||||
|
|
|
Этапы решения задачи
4.Проверка плана на вырожденность
→Вырожденность в транспортной задаче — ситуация, когда в процессе решения транспортной задачи число базисных (занятых перевозками) ячеек транспортной таблицы меньше m+n−1 (где m и n — число поставщиков и потребителей, соответственно), и алгоритм решения впадает в бесконечный цикл или завершается с ошибкой.
Если допустимый опорный план содержит менее |
элементов , то он |
называется вырожденным, а транспортная задача называется вырожденной |
|
транспортной задачей и наоборот. |
|
В данной задаче число базисных (занятых) клеток таблицы равно 6, должно быть m+n-1=6 ,т.е. 3+4-1=6
Следовательно, опорный план является невырожденным.
Этапы решения задачи
5. Вычисление потенциалов (улучшение опорного плана)
Каждому поставщику Ai соответствует потенциал Ui, а каждому потребителю Bj соответствует потенциал Vj. Данциг называет
потенциалы Ui и Vj симплекс-множителями или неявными ценами. Чтобы определить эти потенциалы, полагают, что U1=0, а остальные потенциалы вычисляют из соотношения
Ui + Vj = Cij
для всех занятых (базисных) ячеек таблицы |
|
(отмечены зеленым). |
|
||||
|
|
||||||
|
V1 |
V2 |
V3 |
V4 |
|
U1+V1=2. Поскольку U1=0, 0+V1=2, |
|
|
|
следовательно, V1=2 руб./кг |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U =0 |
|
|
|
|
|
U1+V2=3. Поскольку U1=0, 0+V2=3, |
|
С11=2 |
С12=3 |
|
|
|
следовательно, V2=3 руб./кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
руб./кг |
руб./кг |
|
|
|
U2+V2=2. Поскольку V2=3, U2+3=2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
следовательно, U2=–1 руб./кг |
|
U2 |
|
С22=2 |
С23=5 |
|
|
U2+V3=5. Поскольку U2=–1, –1+V3=5, |
|
|
руб./кг |
руб./кг |
|
|
следовательно, V3=6 руб./кг |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
U3+V3=2. Поскольку V3=6, U3+6=2, |
|
|
|
|
С33=2 |
С34=6 |
|
следовательно, U3=–4 руб./кг |
|
U3 |
|
|
|
U3+V4=6. Поскольку U3=–4, –4+V4=6, |
|
||
|
|
руб./кг |
руб./кг |
|
|
||
|
|
|
|
следовательно, V4=10 руб./кг |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Этапы решения задачи
6. Проверка решения на оптимальность
Для всех не занятых ячеек (с нулевым объемом перевозки) вычисляют оценки клеток распределительной таблицы Δij по формуле ij = Сij – Ui – Vj,
где Ui и Vj берутся из вычислений (выше).
Для всех занятых ячеек (с ненулевыми объемами перевозки, отмечены зеленым цветом) полагают ij=0, поскольку на следующем шаге нам
потребуется значение с минимальной оценкой в незанятых ячейках.
|
V1=2 |
V2=3 |
V3=6 |
V4=10 |
U1=0 |
11=0 |
12=0 |
13 = 2–0–6 = –4 |
14=4–0–10 = –6 |
U2=–1 |
21=3–(–1)–2 = 2 |
22=0 |
23=0 |
24=1–(–1)–10 = –8 |
U3=–4 |
31=4–(–4)–2 = 6 |
32=3–(–4)–3 = 4 |
33=0 |
34=0 |
|
|
|||
Если в получившейся таблице нет отрицательных значений |
ij, то план |
|||
перевозок оптимален и задача решена (переход к шагу 10).
В данном случае в таблице есть отрицательные значения, следовательно переходим к следующему этапу решения.
Этапы решения задачи
В данном примере есть отрицательные значения. Наличие отрицательных значений ij означает, что решение не оптимально.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
A1 |
11=0 |
12=0 |
13= –4 |
14= –6 |
A2 |
21=2 |
22=0 |
23=0 |
24= –8 |
A3 |
31=6 |
32=4 |
33=0 |
34=0 |
Наименьшее отрицательное значение 24=–8 (начальная вершина
для цикла перераспределения поставок) отмечено красным цветом. Если одинаковых отрицательных значений несколько, то берется
любое .
Этапы решения задачи
7. Построение цикла
Допустимые циклы для транспортной
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
A1 |
11=0 |
12=0 |
13= –4 |
14= –6 |
A2 |
21=2 |
22=0 |
23=0 |
24= –8 |
A3 |
31=6 |
32=4 |
33=0 |
34=0 |
Цикл перераспределения поставок представляет собой замкнутую ломаную линию, которая соединяет начальную вершину (отмечена красным цветом) и занятые (отмеченные в примере зеленым цветом) ячейки транспортной таблицы по определенным правилам.
Этапы решения задачи
1.Все вершины, кроме начальной, находятся в занятых ячейках таблицы, при этом охвачены циклом могут быть не все, а лишь некоторые занятые ячейки.
2.В каждой вершине цикла встречаются ровно два звена ломаной линии, причем одна из них находится по строке, а другая — по столбцу. Иначе говоря, они пересекаются под прямым углом.
3.Линия может пересекать занятые ячейки, не включая их в цикл (включение их в цикл не допускается). Другими словами, никакие три последовательные вершины не могут находиться в одной и той же строке или одном и том же столбце.
4.Линия может пересекать саму себя, при этом точка пересечения не включается в цикл (исходя из п.2).
|
B1, 20 кг |
B2, 30 кг |
B3, 30 кг |
B4, 10 кг |
A1, 30 кг |
X11=20 кг |
Х12=10 кг |
|
|
A2, 40 кг |
|
Х22=20 кг |
(*) Х23=20 кг |
(*) |
A3, 20 кг |
|
|
(*) Х33=10 кг |
(*) Х34=10 кг |
Вершины цикла в этом примере помечены звездочкой (*).
По вершинам цикла нужно перераспределить объемы, чтобы получить следующее приближение к оптимальному решению задачи.
Этапы решения задачи
8. Перераспределение поставок по циклу
«Красной» ячейке цикла присваиваем знак (+), следующей по циклу (начать двигаться можно в любом направлении) — знак (–), следующей ячейке цикла — опять (+) и так далее. Находим минимальную поставку по отмеченным знаком (–) вершинам цикла и обозначаем ее θ. Эта вершина цикла Х34=10 кг помечена желтым цветом. Значение θ вычитаем из вершин
цикла, которые помечены знаком (–) и прибавляем его к вершинам цикла, которые помечены знаком (+).
|
B1, 20 кг |
B2, 30 кг |
B3, 30 кг |
B4, 10 кг |
A1, 30 кг |
X11=20 кг |
Х12=10 кг |
|
|
A2, 40 кг |
|
Х22=20 кг |
(–) Х23=20 кг |
(+) |
A3, 20 кг |
|
|
(+) Х33=10 кг |
(–) Х34=10 кг |
Завершающие этапы решения задачи
9. Зацикливание решения
Поскольку алгоритм является циклическим (итерационным), переходим к пункту 1 (Проверка правильности распределения объемов).
10. PROFIT
PROFIT — завершающий пункт решения транспортной задачи и других оптимизационных алгоритмов.
Сюда мы переходим из пункта 6 (Проверка решения на оптимальность) , если решение было признано оптимальным.
Этапы решения задачи
1.Построение нового опорного плана.
A1, 30 кг
A2, 40 кг
A3, 20 кг
A1, 30 кг
A2, 40 кг
A3, 20 кг
B1, 20 кг |
B2, 30 кг |
B3, 30 кг |
X11=20 кг |
Х12=10 кг |
|
(–) Х23=20 кг
Х22=20 кг
(20-10=10)
(+) Х33=10 кг (10+10=20)
B1, 20 кг |
B2, 30 кг |
|
С11=2 руб./кг, |
С12=3 руб./кг, |
|
X11=20 кг |
Х12=10 кг |
|
С21=3 руб./кг |
С22=2 руб./кг, |
|
Х22=20 кг |
||
|
||
С31=4 руб./кг |
С32=3 руб./кг |
B4, 10 кг
(+)
(0+10=10)
(–) Х34=10 кг
(10-10=0)
B3, 30 кг
С13=2 руб./кг
С23=5 руб./кг, Х23=10 кг
С33=2 руб./кг, Х33=20 кг
B4, 10 кг
С14=4 руб./кг
С24=1 руб./кг Х24=10 кг
С34=6 руб./кг,