Вопросы для самопроверки:

1. Что понимается под генеральной совокупностью и выборкой из нее?

2. Каким требованиям должна удовлетворять выборка?

3. Что такое статистическое распределение выборки?

4. Когда статистическое распределение выборки называется дискретным и когда – интервальным?

5. Каковы числовые характеристики выборки? Как они определяются?

6. Как записать и построить выборочную функцию распределения?

7. Как построить гистограмму частот выборки?

8. Что понимается под точечным интервальным оцениванием неизвестных числовых характеристик случайных величин?

9. В чем заключается требование состоятельности оценки?

10. Какая оценка называется несмещенной?

11. По каким формулам исчисляются несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины?

12. Что понимается под доверительным интервалом для неизвестной числовой характеристики случайной величины?

Задача 5

Десять последовательных испытаний, в ходе которых наблюдалась случайная величина X ~ F(x), дали следующие результаты: -1, 0, 1, 1, -1, 1, 0, -2, 2, 1.

Требуется:

1. построить вариационный ряд;

2. записать статистическое распределение выборки;

3. найти несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной величины X.

Решение

Очевидно, что мы имеем дело с выборкой объема n = 10 из генеральной совокупности X ~ F(x).

1. Расположив результаты наблюдений в возрастающем (неубывающем) порядке, получим вариационный ряд:

-2, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2.

2. В записанном вариационном ряде варианта x₁ = –2 повторяется один раз (n₁ = 1), варианта x₂ = –1 – два раза (n₂ = 2), варианта x₃ = 0 – два раза (n₃ = 2), варианта x₄ = 1 – четыре раза (n₄ = 4), варианта x₅ = 2 – один раз (n₅ = 1). В силу этого статистическое распределение выборки, являющееся дискретным, можно представить в виде следующей таблицы:

i	1	2	3	4	5
xi	-2	-1	0	1	2
ni	1	2	2	4	1

Таблица 1

Очевидно, что

3. Опираясь на данные таблицы 1, несмещенные оценки m^*_x и s² для неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной величины X найдем по формулам:

и

где . Получим:

Ответ:

1. вариационный ряд: -2; -1; -1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2;

2. статистическое распределение выборки – таблица 1;

3. m_x^* = 0,2; s² ≈ 1,51.

Задача 6

По интервальному распределению выборки объема n = 100 из генеральной совокупности X ~ F(x), заданному таблицей 1,

i	1	2	3	4	5
(xi-1; xi)	(1; 5)	(5; 9)	(9; 13)	(13; 17)	(17; 21)
ni	10	20	50	12	8

Таблица 1

построить гистограмму частот выборки.

Решение

Все пять интервалов выборки имеют одну и ту же длину ∆x = 4. Поэтому плотности частот на этих интервалах найдем по формуле Получим следующую таблицу:

i	1	2	3	4	5
(xi-1; xi)	(1; 5)	(5; 9)	(9; 13)	(13; 17)	(17; 21)
ni	2,5	5	12,5	3	2

Таблица 2

По данным таблицы 2 строим гистограмму частот:

Очевидно, что суммарная площадь всех построенных прямоугольников равна n = 100.

Замечание 1. Аналогичным образом можно было бы построить гистограмму относительных частот; плотности относительных частот на интервалах выборки определялись бы по формуле

Тогда суммарная площадь всех построенных прямоугольников была бы равна единицы.

Замечание 2. Если по данному интервальному распределению выборки требуется определить несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной величины X, то необходимо от интервального распределения перейти к дискретному распределению, взяв в качестве его вариант средины соответствующих интервалов по формуле

Далее действовать так, как в задаче 5.

Задача 7

По выборке объема n = 25 из генеральной совокупности X ~ N(m_x; 5) определена выборочная средняя m_x* = 14. Найти 95 – процентный доверительный интервал для неизвестного математического ожидания m_x.

Решение

Доверительный интервал для неизвестного m_x имеет вид

I_γ = (m_x* – δ; m_x* + δ), где γ = 0,95, а m_x* = 14.

Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратиче – ским отклонением, то величина δ определяется по формуле

где σ_x = 5, n = 25, а x_γ есть аргумент функции Лапласа Ф(x), при котором По таблице приложения 2 в [2] находимx_γ = 1,96. Тогда

В итоге I_γ=0,95 = (12,04; 15,96). Записанный интервал найден по одной реализации выборки и его следует понимать так: он либо содержит, либо не содержит неизвестное математическое ожидание m_x; однако если получить большое число реализаций выборки объема n = 25 из X ~ N(m_x; 5) и по каждой реализации найти доверительный интервал, то в среднем 95% найденных интервалов накроют неизвестное m_x. Длины же этих интервалов в данных условиях будут одинаковыми, равными 2δ.

Задача 8

По выборке объема n = 9 из генеральной совокупности X ~ N(m_x; σ_x) определены несмещенные оценки m_x^* = 2 и s² = 5,76.

Найти 95-процентные доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины X.

Решение

1) Доверительный интервал для m_x имеет вид I_γ = (m_x^* - δ; m_x^* + δ), где γ = 0,95; m_x^* = 2. Так как выборка взята из нормальной генеральной совокупности Х с неизвестным σ_x, то величина δ определяется по формуле

где аt_γ определяется по таблице приложения 3 в [1] по γ = 0,95 и n = 9: t_γ = 2,31. Тогда

2) Доверительный интервал для σ_x имеет вид:

где s = 2,4, а величина q определяется по таблице приложения 4 в [1] по γ = 0,95 и n = 9: q = 0,71. Тогда I_γ=0,95 = ( 2,4 (1 – 0,71); 2,4 (1 + 0,71) ).

В итоге I_γ=0,95 = (0,7; 4,1).

Ответ:

1. для m_x I_γ=0,95 = (0,15; 3,85);

2. для σ_x I_γ=0,95 = (0,7; 4,1).

Замечание. При больших значениях n (уже при n > 30) доверительный интервал для m_x можно искать так, как это делалось в задаче №7, полагая, что в генеральной совокупности X ~ N(m_x; σ_x) σ_x известно и равно s.

ТЕМЫ 13-15

[1]: гл.19.

[2]: гл. 13.

[3]: гл. 10, §§ 1-8.