мат.анализ контрольная работа

Функция. Функции в экономике.

Задание 1

Общее условие для всех вариантов.

Заданы функции спроса и предложения на товар в зависимости от цены . Требуется:

1. найти область определения и множество значений функций;

2. найти объем предложения и объем спроса товара по цене ; определить, что будет - избыточное предложение или избыточный спрос; вычислить выручку продавцов ;

3. найти равновесную цену , равновесный объем продаж и выручку продавцов ;

4. построить графики функций и в одной системе координат, указать значение .

№ варианта	Числовые данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Самостоятельно: Свойства функций: четные и нечетные функции, их свойства. Основные элементарные функции.

Задание 1*(дополнительное)

Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность.

1. f(x)= ; b) f(x)=;

2. a) f(x)=arcsin(2x-3); b) f(x)=cos(x);

3. a) f(x)=lg(3x-x); b) f(x)=tg(2x)+;

4. a) f(x)=; b) f(x)= ;

5. a) f(x)=arcos(5+3x); b) f(x)=-;

6. a) f(x)=lg(); b) f(x)=(x-1) sin(x);

7. a) f(x)=; b) f(x)=;

8. a) f(x)=arcsin(); b) f(x)=(x-3x) tg(x);

9. a) f(x)=(x-3x) tg(x); b) f(x)=ctg(x+;

10. a) f(x)= ; b) f(x)= +;

11. a) f(x)= arccos(); b) f(x)= ;

12. a) f(x)= ln(4x+x); b) f(x)= cos(3x);

13. a) f(x)= ; b) f(x)= ;

14. a) f(x)= arctg(); b) f(x)= -ctg(2x);

15. a) f(x)= ; b) f(x)= ;

16. a) f(x)= arcctg(); b) f(x)= ;

17. a) f(x)= lg(5x+x); b) f(x)= cos(5x);

18. a) f(x)= ln(); b) f(x)= tg(3x)+;

19. a) f(x)=; b) f(x)= ;

20. a) f(x)= arcsin(); b) f(x)= .

Предел и непрерывность.

Задание 2

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. a) ; б) ;

5. a) ; b) ;

6. a ) ; b ) ;

7. a ) ; b ) ;

8. a ) ; b) ;

9. a ) ; b )

10. a ) ; b )

11. a ) ; b )

12. a ) ; b ) ;

13. а) ; б) ;

14. а) ; б) ;

15. а) ; б) ;

16. a) ; б) ;

17. a ) ; b ) ;

18. a ) ; b ) ;

19. a ) ; b) ;

20. a ) ; b );

Задание 3

Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и x2 . Требуется: 1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва; 3) сделать схематический чертёж.

f(x)=2+1 , x= 4, x=3 ;

f(x)= , x= 0 , x= 1 ;

f(x)=4 , x= 3 , x= 4 ;

f(x)= , x= 2 , x= 3

f(x)= 12 , x= 1 , x= 0 ;

f(x)= , x= 0 , x= 2 ;

f(x)= 2 , x= 5 , x= 6 ;

f(x)= , x= 2 , x= 3 ;

f(x)= 3 , x= 4 , x= 6 ;

f(x)= 4 , x= 3 , x= 4 ;

f(x)= 8 , x= 7 , x= 5 ;

f(x)= 9 , x= -1 , x= 0 ;

f(x)= 2 , x= 1 , x= 0 ;

f(x)= , x= -5 , x= 4 ;

f(x)= 3 , x= -1 , x= 0 ;

f(x)= , x= 3 , x= 5 ;

f(x)= 4 , x= -3 , x= -2 ;

f(x)= 8 , x= 0 , x= 1 ;

f(x)= 3 , x= -2 , x= -4 ;

f(x)= 7 , x= -2 , x= 0 ;

Самостоятельно: Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечномалые.

Задание 2*(дополнительное)

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя (использовать эквивалентность бесконечно малых и 2-ой замечательный предел).

1. а) ; б) ; в) ;

2. а ) ; б ) ; в) ;

3. а ) ; б ) ; в) ;

4. а ) ; б ) ; в)

5. а ) ; б ) ; в) ;

6. а ) ; б ) ; в)

7. а ) ; б ) ; в) ;

8. а ) ; б ) ; в)

9. а) ; б ) в) ;

10. а) ; б) ; в);

11. а) ; б) ; в) ;

12. а ) ; б ) ; в) ;

13. а ) ; б ) ; в) ;

14. а ) ; б ) ; в)

15. а ) ; б ) ; в) ;

16. а ) ; б ) ; в)

17. а ) ; б ) ; в) ;

18. а ) ; б ) ; в)

19. а) ; б ) в) ;

20. а) ; б) ; в).

Задание 3*(дополнительное)

Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Сделать чертёж.

1. f(x)=

2. f(x)=

3. f(x)=

4. f(x)=

5. f(x)=

6. f(x)=

7. f(x)=

8. f(x)=

9. f(x)=

10. f(x)=

11. f(x)=

12. f(x)=

13. f(x)=

14. f(x)=

15. f(x)=

16. f(x)=

17. f(x)=

18. f(x)=

19. f(x)=

20. f(x)=

Задание 4

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию. Построить график этой функции, используя результаты исследования.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Самостоятельно: Производная сложной функции. Наибольшие и наименьшее значения функции на отрезке. Производные в экономике.

Задание 4*(дополнительное)

Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = f(х) на заданном отрезке [а, в].

1. у = ln (х² –2х+2), [0, 3];

2. y = x³ –12x+17, [-1, 3]

3. y = x/2 +cosx, [П/2, П];

4. y = (x+2) e^1-x, [-2, 2]

5. y = ln (x² +2x+4), [-3, 0];

6. y = x⁴ +4/3x³ –7, [-2, 0]

7. y = x³ –27x-17, [-3, 4];

8. y = √3/2x-sinx, [0, П/2]

9. y = (x-2) e^x , [-2, 2];

10. y = e^{4x - x2} , [1, 3]

11. y = 3x⁴ –16x³ +2, [-3, 1];

12. y = 81x – x⁴ , [-1, 4]

13. y = ln (x² –4x+5), [0, 3];

14. y = x³ –9/2x² –12x, [-2, 0]

15. y = x³ +9/2x² –12x, [-5, -3];

16. y = x/2+sinx, [0, П]

17. y = e^{6x - x2} , [-3, 4];

18. y = √3/2x+cosx, [0, П/2]

19. y = x³ +3/2x² –18x, [-4, -2];

20. y = e^{2x - x2} , [-1, 2]

Задание 5* (дополнительное)

Задача на экономические приложения производных функций одной переменной.

1. Поступления от реализации производственной продукции выражаются функцией , а затраты, связанные с производством продукции в количестве , записываются функцией . Определите оптимальный объем производства, обеспечивающий максимум прибыли.

2. Найти эластичность функции спроса по цене и эластичность функции предложения по цене при . Определить, на сколько процентов изменятся спрос и предложение, если цена увеличится на 5%..

3. Затраты, связанные с производством продукции, определяются функцией . Определите объем производства, обеспечивающий минимальные затраты. Дайте экономическое истолкование результату.

4. Объем выпущенной продукции и выручка , полученная от реализации, заданы функцией . Найдите, при каком объеме продукции выручка минимальна. Вычислите предельную выручку.

5. Цена на товар составляет 250 руб., издержки производства этого товара равны , где - число единиц произведенного товара. Найти, при каком количестве товара функция прибыли принимает максимальное значение.

6. Издержки производства продукции определяются функцией , где - число единиц произведенной за месяц продукции. Продукция продается по цене 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальна?

7. Количество произведенной за день продукции зависит от числа рабочих в сборочном цехе следующим образом: , где - число рабочих. Вычислить значение прироста выработки за неделю, вызванное добавлением одного рабочего.

8. Вычислить предельную выручку, если известны уравнение спроса и значение цены на продукцию ( - количество продукции, - цена продукции). Что она показывает?

9. Производитель реализует продукцию по цене ден. ед. за единицу, а общие издержки равны ден. ед., где - количество продукции. Известно, что наибольшая прибыль достигается при выпуске 0,5 ед. продукции. Чему равны полный доход и общие издержки при оптимальном плане выпуска продукции?

10. Вычислить предельную выручку, если известно уравнение спроса и значение цены на некоторую продукцию ( - количество продукции, - цена продукции).

11. Вычислить эластичность функции спроса в точке ( - количество продукции, - цена продукции). Дать экономическое истолкование результату. Вычислить процентное изменение спроса, если цена уменьшилась на 2%.

12. Задана зависимость , связывающая количество продукции и цену товара. Постоянные издержки производства составляют ден. ед., а переменные затраты на одну единицу продукции равны ден. ед. Запишите функции дохода , общих издержек и прибыли . Постройте графики функций , , .

13. Зависимость спроса от цены выражается формулой . Запишите функцию выручки от цены. При каких значениях цены выручка возрастает? Вычислите эластичность спроса на товар по цене , дайте экономическое истолкование.

14. Зависимость спроса от цены выражается формулой . Вычислите эластичность спроса на товар по цене , дайте экономическое истолкование. Постройте график предельного спроса. Запишите функцию выручки от цены. При каких значениях цены выручка убывает?

15. Пусть есть функция Торнквиста спроса потребителей на товары первой необходимости в зависимости от дохода . Найдите эластичность при , дайте экономическое истолкование полученному результату.

16. Дана функция спроса от цены товара . Составить функцию выручки. Вычислить эластичность функции спроса в точке и дать экономическое истолкование результату. Как повлияет изменение цены на выручку?

17. Предприятие производит ед. продукции в месяц и реализует ее по цене . Суммарные издержки производства составляют . Определите, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной.

18. Производитель реализует свою продукцию по цене ден. ед. за единицу продукции, а издержки задаются функцией , где - объем выпущенной продукции. Найдите оптимальный объем выпуска продукции и соответствующую прибыль.

19. Поступления от реализации производственной продукции выражаются функцией , а затраты, связанные с производством продукции , записываются функцией . Определите оптимальный объем производства, обеспечивающий максимум прибыли.

20. Производитель реализует свою продукцию по цене ден. ед. за единицу продукции, а издержки задаются функцией , где - объем выпущенной продукции. Найдите оптимальный объем выпуска продукции и соответствующую прибыль.

Задание 5

Задана функция Z=f(x,y), точка М₀ (х₀, у) и вектор ā = a_х i + а_у j. Требуется:

1)Вычислить производную функции в точке М₀ в направлении вектора ā, указать смысл полученного результата.

2) Найти градиент функции в точки М₀ и наибольшую скорость возрастания функции. Построить градиент.

5.1 U=x+y-2x+4y, M(2,1), =2-,

5.2 U=x+y+4x+2y, M(1,1), =3+2,