- •2. Алфавит Maple-языка и его синтаксис. Основные объекты (определение, ввод, действия с ними). Числа. Обыкновенные дроби.
- •3. Основные объекты (определение, ввод, действия с ними). Радикалы. Константы. Переменные, неизвестные и выражения.
- •4. Последовательности, списки, множества. Массивы. Вектора.
- •Создание массивов, векторов и матриц
- •5. Аналитические преобразования. Операции с формулами. Преобразование типов. Операции оценивания.
- •Оценивание выражений
- •6. Работа с последовательностями, списками, множествами. Последовательности с заданным числом членов
- •Основные функции для произведения членов последовательностей
- •7. Работа с массивами, таблицами. Создание Maple-таблиц и их применение
- •Создание массивов, векторов и матриц
- •8. Внутренняя структура объектов Maple. Подстановка и преобразование типов. Преобразования чисел с разным основанием
- •Контроль за типами объектов
- •9. Операции с полиномами. Определение полиномов
- •Выделение коэффициентов полиномов
- •Оценка коэффициентов полинома по степеням
- •Оценка степеней полинома
- •Контроль полинома на наличие несокращаемых множителей
- •Разложение полинома по степеням
- •Вычисление корней полинома
- •Основные операции с полиномами
- •Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями
- •10. Решение уравнений и неравенств.
- •11. Математический анализ. Пределы, суммы. Ряды. Пределы
- •Суммы и ряды
- •12. Математический анализ. Исследование функций. Разложение и приближение функций.
- •13. Математический анализ. Дифференцирование функций. Интегрирование. Производные
- •Интегралы
- •14. Обзор пакетов Maple 15. Пакет linalg. Элементарные операции с матрицами и векторами. Состав пакета linalg
- •15. Пакет LinearAlgebra. Элементарные операции с матрицами и векторами. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra
- •Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
- •Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra
- •16. Решение систем линейных уравнений. Пакет student. Функции пакета student
- •Функции интегрирования пакета student
- •Иллюстративная графика пакета student
- •17. Основы программирования в maple 15. Задание функций пользователя. Задание функции пользователя
- •10.1.2. Конструктор функций unapply
- •Визуализация функции пользователя
- •18. Основы программирования в maple 15.Условные выражения. Циклы. Операторы пропуска и прерывания. Условные выражения
- •Циклы for и while
- •10.2.5. Операторы пропуска и прерывания циклов
- •19. Процедуры функции. Процедуры. Средства отладки процедур, их сохранение и использование (подключение).
- •Графические процедуры
- •Просмотр кодов процедур
- •Оператор возврата значения return
- •Статус переменных в процедурах и циклах
- •Объявления переменных локальными с помощью оператора local
- •Объявления переменных глобальными с помощью слова global
- •Ключи в процедурах
- •Общая форма задания процедуры
- •20. Решение алгебраических уравнений и систем уравнений. Основная функция solve. Решение систем линейных уравнений
- •21. Одиночные нелинейные и тригонометрические уравнения. Решение одиночных нелинейных уравнений
- •Решение тригонометрических уравнений
- •22. Системы нелинейных и трансцендентных уравнений. Решение уравнений в численном виде. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений
- •Решение в численном виде — функция fsolve
- •23. Решение функциональных, рекуррентных и др. Уравнений. Функция RootOf. Функция RootOf
- •Решение функциональных уравнений
- •Решение рекуррентных уравнений — rsolve
- •24. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных Примеры аналитического решение оду первого порядка
- •Функция pdsolve
- •25. Двумерная графика в системе maple 15. Команда plot(). Функция plot для построения двумерных графиков
- •26. Двумерные команды пакета plots. Двумерные графические структуры Maple.
- •27. Двумерные команды пакета plottols. Анимация двумерных графиков.
- •28. Пространственная графика в Maple. Команда plot3d().
- •Параметры функции plot3d
- •29. Трёхмерные команды пакета plots. Трёхмерные графические структуры Maple.
- •30. Меню для работы с трёхмерной графикой. Трёхмерные команды пакета plottools.
- •31. Символьные преобразования выражений. Команда simplify, expand. Упрощение выражений — simplify
- •Расширение выражений — expand
- •32. Символьные преобразования выражений. Команда factor, collect. Разложение выражений (факторизация) — factor
- •Комплектование по степеням — collect
- •33. Решение тригонометрических уравнений.
- •34. Решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений
- •35. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений.
- •36. Поиск эсктремумов функции командой solve.
- •37. Поиск эсктремумов функции командой extrema.
- •38. Поиск минимумов и максимумов аналитической функции командами minimize, maximize.
- •39. Работа с функцией из отдельных кусков. Функция piecewise. Работа с функциями piecewise
- •40. Численное решение дифференциальных уравнений. Команда dsolve.
- •II. Вопросы по практике
12. Математический анализ. Исследование функций. Разложение и приближение функций.
Для разложения функции в ряд Тейлора в Maple используется команда series. Она зависит от трех параметров: первый - разлагаемая функция; второй задает точку, в окрестности которой ведется разложение; третий определяет порядок бесконечно малых, с точностью до которых члены ряда будут вычисляться явно.
> f:=int(sin(x)/x, x); series(f, x=0,10);
f:= Si(x)
> h:=series(log(x), x=1, 5);
Часто бывает полезно преобразовать ряд в полином, отбросив остаточный член.
>convert(h,polynom);
Дополнительные возможности манипулирования с формальными степенными рядами (например, умножения рядов) можно получить, подгрузив специализтрованный пакет powerseries.
Примеры анализа функций на непрерывность(-функция непрерывна,-имеет разрыв, closed - показывает, что конечные точки должны проверяться):
1.> iscont( 1/x, x=1..2 ); |
|
| |
2.> iscont( 1/x, x=-1..1 ); |
|
| |
3.> iscont( 1/x, x=0..1 ); |
|
| |
4.> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' ); |
|
|
Примеры определения точек нарушения непрерывности:
1.> discont(1/(x-2),x); |
|
| |
2.> discont(1/((x-1)*(x-2)*(x-3)),x); |
|
|
Примеры нахождение экстремума:
1.> extrema(2*x^2+3*x-7,{},x); |
|
| |
2.> extrema( a*x^2+b*x+c,{},x ); |
|
|
Примеры нахождение минимального значения- (minimize - минимальное значение , maximize - максимальное значение):
1.> minimize(exp(tan(x)), x=0..10); |
|
| |
2.> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3); |
|
|
Примеры вычисления приделов (infinity - бесконечность, - несуществует):
1.> limit(sin(x)/x, x=0); |
|
| |
2.> limit(exp(x), x=infinity); |
|
| |
3.> limit(exp(x), x=-infinity); |
|
| |
4.> limit(1/x, x=0, real); |
|
| |
5.> Limit(sin(x), x=0); |
|
13. Математический анализ. Дифференцирование функций. Интегрирование. Производные
Для вычисления обычных и частных производных в Maple
используется команда (функция) diff, первый аргумент которой есть дифференцируемая функция, а второй - переменная, по которой надо брать производную.
> diff(sqrt(x^2+3), x);
> diff(diff(z*sin(z), z), z); diff(z*sin(z), z, z);
2 cos(z) - z sin(z)
2 cos(z) - z sin(z)
Обратите внимание на эквивалентность двух последних команд.
Еще несколько примеров:
> Diff(exp(x^2)*sin(1/x),x,x);
> diff(x^3+t*x+t, x);
3 x2 + t
> diff(x^3+t*x+1, t);
x
Разумеется, переменная, по которой ведется дифференцирование, должна быть именно переменной (в математическом смысле). В противном случае Maple выдаст сообщение об ошибке.
> x:=4: diff(x^2+3*x, x);
Error, wrong number (or type) of parameters in function diff
> x:='x': diff(x^2+3*x, x);
2 x + 3
>
Обратите внимание на то, как было отменено присваивание переменной x конкретного числового значения.
Для нахождения производной неявной функции используется
implicitdiff, у которой второй параметр - неявно заданная функция, а третий - аргумент, по которому ведется дифференцирование:
> implicitdiff(x^2+3*y*x+y^3,y,x);
Кроме команды diff, в Maple имеется также оператор дифференцирования D. Проиллюстрируем его действие на примерах:
> D(x^3); D([sin,cos,tan]);
3 D(x) x2
[cos, -sin, 1 + tan2]
Вышеприведенные примеры показывают, что, в отличие от функции diff, D не требует второго аргумента. Дифференцируя выражение x3, D рассматривает x не как независимый аргумент, а как некоторую функцию. Если результат операции дифференцирования затруднительно записать без использования аргумента дифференцируемой функции, то Maple "выкрутится" следующим образом:
> D(D(log));