Тема 1 : Метрические и топологические пространства

V3

Функция d(x, y ), определяющая метрику на множестве действительных чисел

1

| x- y |

1

| x³ – y³ |

1

| arctg x – arctg y|

0

( x² + 3y² ) | x – y|

0

| x² – y² |

0

| sin ( x-y)|

0

x³ – y³

0

| tg (x-y)|

V3

Метрическое пространство -

1

Любое множество М R¹ с метрикой d(x, y) = | x – y|

1

Любое линейное нормированное пространство с метрикой d (x, y) = || x – y ||

1

Числовая прямая с метрикой d(x, y) =

0

Числовая прямая с метрикой d(x, y) =

0

Множество рациональных чисел с метрикой d ( x, y ) = x – y

0

Множество иррациональных чисел с метрикой d ( x, y ) =sin ( x – y)

0

Числовая прямая с метрикой d(x, y) = x² – y²

0

Любое множество М R¹ числовой прямой с метрикой d(x, y) = cos | x – y |

V3

Метрическое пространство ( здесь x=( x₁, x₂) , y = (y₁, y₂) ) -

1

Любое множество М R² с метрикой d(x, y) = | x₁ – y₁ | + | x₂ – y₂ |

1

Любое линейное нормированное пространство с метрикой d (x, y) = || x – y ||

1

Множество точек плоскости с метрикой d (x, y )= ,

0

Множество точек плоскости с рациональными координатами и с метрикой d (x, y )= (x₁ + y₁ ) + (x₂ + y₂ )

0

Множество точек плоскости с иррациональными координатами и с метрикой d ( x, y ) = ( x₁ – y₁ ) + ( x₂ – y ₂)

0

Множество М R² с метрикой d (x, y )= x₁ ∙ y₁ + x₂ ∙ y₂

0

Множество точек плоскости с метрикой d (x, y ) = sin (x₁ - y₁ ) + sin (x₂ - y₂ )

0

Множество точек плоскости с метрикой d (x, y ) = cos (x₁ - y₁ )² + cos (x₂ - y₂ )²

V3

Метрическое пространство -

1

Множество непрерывных на [ a; b] функций с метрикой d(x, y) = | x (t ) – y(t) |

1

Любое линейное нормированное пространство с метрикой d (x, y) = || x – y ||

1

Множество непрерывных на [ a; b] функций с метрикой d(x, y) = , 1 ≤p <

0

Множество многочленов с метрикой d (P₁, P₂) = | P₁(0) - P₂ ( 0) |

0

Множество непрерывных на [ a; b] функций с метрикой d(x, y) = x (t ) – y(t)

0

Множество монотонных функций с метрикой d(x, y) = x (a ) ∙ y(a)

0

Множество непрерывно дифференцируемых на [ a; b] функций с метрикой d(x, y) = | x’ (t ) – y’(t) |

0

Множество непрерывных на [ a; b] функций с метрикой d(x, y) = | x (b ) – y(a) |

V3

Замыкание множества Е

1

Операция присоединения к Е всех его предельных точек

1

Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е

1

Наименьшее замкнутое множество, содержащее Е

0

Любое открытое множество этого пространства содержит другое непустое открытое множество, целиком свободное от точек множества А

0

Внутренность замыкания А равно пустому множеству

0

Объединение всех открытых множеств, содержащих Е

0

Операция удаления внутренних точек

0

Наибольшее открытое множество, содержащее Е

V3

Свойства операции замыкания

1

A

1

=

1

=

0

A B ,то

0

≠

0

≠

0

=

0

A

V3

Множество Е всюду плотно в Х, если

1

=Х

1

Каждая точка множества Х является либо предельной точкой множества Е, либо принадлежит множеству Е ( либо и то, и другое)

1

Замыкание множества Е совпадает со всем пространством Х

0

ограничено

0

Не ограничено

0

замкнутое

0

открытое

0

конечное

V3

Нигде не плотное множество А в метрическом пространстве Х

1

Любое открытое множество этого пространства содержит другое непустое открытое множество, целиком свободное от точек множества А

1

Внутренность замыкания А равно пустому множеству

1

Не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре содержится другой шар, не имеющий с Е ни одной общей точки

0

Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е

0

Наименьшее замкнутое множество, содержащее Е

0

Объединение всех открытых множеств, содержащих Е

0

Наибольшее открытое множество, содержащее Е

0

Операция присоединения к Е всех его предельных точек

V3

Множество, нигде не плотное на координатной плоскости R²

1

прямая

1

Отрезок

1

окружность

0

Обе координаты которых рациональны

0

Обе координаты которых иррациональны

0

Одна из координат которых рациональна

0

Обе координаты которых действительны

0

Одна координата рациональна, другая иррациональна

V3

Множество, всюду плотное на координатной плоскости R²

1

Обе координаты которых рациональны

1

Обе координаты которых иррациональны

1

Одна из координат которых рациональна

0

Обе координаты которых целые

0

Одна координата целая

0

Точки окружности x² + y² = 1

0

Точки замкнутого круга x² + y² ≤ 1

0

Точки открытого круга x² + y² < 1

V3

Множество, нигде не плотное на числовой прямой

1

Канторово множество

1

Множество натуральных чисел

1

{ ½, ¼, 1/8, 1/16, …}

0

Множество рациональных чисел

0

Множество иррациональных чисел

0

[0; 4]

0

Множество действительных чисел

0

Множество рациональных чисел сегмента [0; 4]

V3

Всюду плотное множество в пространстве C[a; b] – это множество

1

всех многочленов с рациональными коэффициентами

1

всех многочленов

1

всех многочленов с иррациональными коэффициентами

0

Канторово

0

Линейных функций

0

Ограниченных функций

0

Разрывных функций

0

Интегрируемых функций

V3

Всюду плотное множество в пространстве L_p[a; b] – это множество

1

всех многочленов с рациональными коэффициентами

1

всех многочленов

1

всех непрерывных функций

0

Канторово

0

Линейных функций

0

Ограниченных функций

0

Разрывных функций

0

неограниченных