Обзор основных элементарных функций.

1. Линейная функция

,

где – константы.– угловой коэффициент наклона прямой,, где– угол между прямой и положительным направлением оси(см. рис.1).

П

2)

римеры:

2. Квадратичная функция

,

где – константы. График - парабола. Если, то ветви параболы направлены вверх, если– то вниз.

Корни функции:

Координаты вершины параболы:

;

Заметим, что если , то(два совпадающих корня!).

Пример.

. Находим корни функции из уравнения:. Координаты вершины этой параболы:

;. (см. рис.2).

3. Дробно-линейная функция

.

График – гипербола. Частный случай: – "обратная пропорциональность" (см. рис. 3).

4. Показательная функция

(см. рис.4).

5. Логарифмическая функция

(см. рис.5).

6. Степенная функция

(– любое действительное число)

1)(– натуральное число) (см. рис.6):

2)(– натуральное число) (см. рис.7):

3)– несократимая дробь (см. рис.8):

При построении таких графиков надо учитывать четность и, а также соотношение междуи:или. Например, есличётно, то(см. рис.(1)); еслинечётно, то(см. рис. (2) – (4)). Есличётно, то– чётная функция; еслинечётно, то– нечётная функция. Если, то приграфик функции ведет себя, как график функции, а если, то – как график функции.

7. Функция

(см. рис.9)

Нечетная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:

;;;;

;.

8. Функция

(см. рис.10)

Четная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:

;;;;

;.

9. Функция

(см. рис.11):

Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функциив точках;;;и т.д. вычисляются по значениям функцийи.

10. Функция

(см. рис.12):

Рис.12

Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функциив точках;;;и т.д. вычисляются по значениям функцийи.

11. Функция

(арксинус числа– это такое число, что) (см. рис.13):

12. Функция

(арккосинус числа– это такое число, что) (см. рис.14):

Рис.14

13. Функция

(арктангенс числа– это такое число, что) (см. рис.15):

14. Функция

(арккотангенс числа– это такое число, что) (см. рис.16):

Примеры:

1. Найти для следующих функций:

а).

▲ Т.к. знаменатель дроби, задающей функцию, не должен равняться нулю, то

.

б).

▲ Т.к. функция задается при помощи корня чётной степени из выражения , то, и

.

2. Выяснить чётность следующих функций:

а).

▲ Функция – чётная, т.к.симметрична относительно точкиидля.

б).

▲ Функция – нечётная, т.к.симметрична относительно точкиидля.

в).

▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.:и. В качествеможно взять, например. (Заметим, чтосимметрична относительно точки).

г).

▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.не симметрична относительно точки.

3. Найти значение функции в заданной точке :

а),,;.

▲ ,.

б),.

▲ .

Задачи для самостоятельного решения.

I.Найти:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13);

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11); 12); 14).

II.Выяснить четность следующих функций:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Ответы:

I.1);2);

3);4);

5);6);

7);8);

9);10);

11);

12);

13);14).

II. 1),2),5)– функция ни четная, ни нечетная;

3),6),7),10),11)– функция нечетная;

4),8),9)– функция четная.