математика
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
ФГОУ ВПО Московский государственный университет
тонких химических технологий им. М. В. Ломоносова
кафедра высшей и прикладной математики
Солодова Е. Ф., Ремизова О. И.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Учебно-методическое пособие Москва, 2014
ÓÄÊ 512.8:516 ÁÁÊ Ñ42
Рецензенты:
к.ф.-м.н., доцент С. А. Степанянц (МГУ им. М. В. Ломоносова);
к.ф.-м.н., доцент Т. П. Краснослободцева (МИТХТ им. М. В. Ломоносова).
Солодова Е. Ф., Ремизова О. И.
Двойные интегралы. Криволинейные интегралы: Учебно-мето- дическое пособие. Москва: МИТХТ, 2014. 56 с.; рис. 33.
Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Включены следующие разделы:Двойные интегралы , Криволинейные интегралы . Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения. Приведены образцы контрольных работ (с решениями).
Пособие предназначено для студентов вечернего и очно-заочно- го отделений.
Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ в ка- честве учебно-методического пособия.
c МИТХТ им. М. В. Ломоносова, 2014 г.
Оглавление
Двойной интеграл |
5 |
Занятие 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . |
5 |
Основные свойства двойного интеграла . . . . . . . . |
7 |
Вычисление двойного интеграла в декартовых коор- |
|
динатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
Занятие 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
Вычисление двойного интеграла в полярных коорди- |
|
натах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
Занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
Некоторые приложения двойных интегралов . . . . . |
21 |
Контрольная работа по теме Двойной интеграл . . . . . . |
27 |
Криволинейные интегралы |
30 |
Занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
Криволинейный интеграл I рода. Основные понятия . |
30 |
Вычисление криволинейного интеграла I рода . . . . |
32 |
Криволинейный интеграл II рода. Основные понятия |
34 |
Некоторые свойства криволинейного интеграла II рода |
36 |
Вычисление криволинейного интеграла II рода . . . . |
36 |
Занятие 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
Условия независимости криволинейного интеграла II ро- |
|
да от пути интегрирования . . . . . . . . . . . . |
41 |
Занятие 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
Геометрические и механические приложения криво- |
|
линейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
3
Контрольная работа по теме Криволинейные интегралы |
49 |
Ответы к занятиям |
52 |
Литература |
53 |
4
Двойной интеграл
Занятие 1
Основные понятия и определения
Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f(x; y). Разобьем область D на n элементарных областей Di; i = 1; : : : ; n, площади которых обозначим через Si, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) че- рез di.
Ðèñ. 1.
В каждой области Di выберем произвольную точку Mi (xi; yi), умножим значение f (xi; yi) функции в этой точке на Si
5
сумму всех таких произведений:
f (x1; y1) S1 + f (x2; y2) S2 + : : : + f (xn; yn) Sn =
n
X
= f (xi; yi) Si: (1)
i=1
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; y) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что max16i6n di ! 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D
на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D и обозначается
ZZ
f(x; y) dxdy:
D
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
ZZ |
|
|
n |
|
|
|
max!1di |
0 i=1 |
|
|
|
||
D |
16i6n |
! |
X |
|
Si: |
(2) |
f(x; y) dxdy = |
nlim |
; |
f (xi; yi) |
|
В этом случае функция f(x; y) называется интегрируемой в области D; D область интегрирования ; x è y переменные интегрирования ; dxdy элемент площади.
Для всякой ли достаточно хорошей функции f(x; y) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема
Теорема 1 (Достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
то она интегрируема в этой области.
Замечания.
1.Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
6
2.Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм
существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 2).
Ðèñ. 2.
Ïðè ýòîì Si = xi yi, равенство (2) можно записать в виде
ZZ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
max!1xi |
! |
0; i=1 |
|
|
|||||
D |
16i6n |
|
X |
xi |
yi: |
||||
f(x; y) dxdy = |
|
|
nlim |
; |
|
f (xi; yi) |
|||
|
max y |
i |
! |
0 |
|
|
|||
|
1 |
6 |
i n |
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Основные свойства двойного интеграла
Процесс построения интеграла в области D дословно повторя-
ет процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке. Аналогичны и свойства интегралов и их доказательства. Сформулируем основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.
RRRR
1.c f(x; y) dxdy = c f(x; y) dxdy; c const:
D D
RR |
RR |
RR |
2. |
(f1(x; y) f2(x; y)) dxdy = |
f1(x; y) dxdy f2(x; y) dxdy: |
D |
D |
D |
3.Если область D разбить линией на две области D1 è D2 такие, ÷òî D1[D2 = D, а пересечение D1 è D2 состоит лишь из линии,
7
их разделяющей (см. рис. 3), то
ZZ |
f(x; y) dxdy = ZZ |
f(x; y) dxdy + ZZ f(x; y) dxdy: |
D |
D1 |
D2 |
Ðèñ. 3.
4. Если в области D имеет место неравенство f(x; y) > 0, то
RR |
|
удовлетворяют неравенству |
|
|
, òî è |
|
è |
f(x; y) dxdy |
> 0. Если в области D |
функции f(x; y) и |
|||
D |
|
|
|
f(x; y) > g(x; y) |
|
|
g(x; y) |
ZZ |
|
|
|||
|
|
f(x; y) dxdy > ZZ g(x; y) dxdy: |
|
DD
5.Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то
ZZ
mS 6 f(x; y) dxdy 6 MS;
D
где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значе- ния подынтегральной функции f в области D.
6. Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка
RR
(x0; y0), ÷òî f(x; y) dxdy = f(x0; y0) S. Величину
D
1
ZZ
f(x0; y0) = S f(x; y) dxdy
D
называют средним значением функции f(x; y) в области D.
8
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пусть область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми y = '1(x) è y = '2(x), причем функции '1(x) è '2(x) непрерывны и таковы, что '1(x) 6 '2(x) äëÿ âñåõ x 2 [a; b] (ñì. ðèñ. 4).
Ðèñ. 4.
Такая область называется правильной в направлении оси Oy; любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области не более, чем в двух точах.
Теорема 2 Если функция z = f(x; y) непрерывна в области D, правильной в направлении оси Oy, òî
2 3
b'2(x)
ZZ |
f(x; y) dxdy = Z |
Z |
f(x; y) dy |
7 |
dx: |
(3) |
D |
a |
6'1(x) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
Интеграл, стоящий в правой части формулы (3), называется повторным интегралом и обычно записывается в виде
b'2(x)
ZZ
I = dx |
f(x; y) dy: |
a'1(x)
|
'2(x) |
|
Ïðè ýòîì |
R |
f(x; y) dy называется внутренним интегралом . |
'1(x)
Для вычисления повторного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл,
9
т. е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.
Если же область D ограничена прямыми y = c и y = d (c < d),
кривыми x = 1(y) è x = 2(y), причем |
1(y) 6 2(y) äëÿ âñåõ |
||||
y 2 [c; d], т. е. область D правильная в направлении оси |
Ox, òî |
||||
справедлива аналогичная формула для двойного интеграла |
|
||||
|
d |
|
2(y) |
|
|
ZZ |
f(x; y) dxdy = Zc |
dy |
Z |
f(x; y) dx: |
(4) |
D |
|
|
1(y) |
|
|
Замечания.
1.Если область D правильная, т. е. правильная как в направлении оси Oy, так и в направлении оси Ox, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (3), так и по формуле (4).
2.Если область D не является правильной ни в направлении оси Oy, ни в направлении оси Ox, то для сведения двойного инте-
грала к повторным, ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ox или оси Oy.
3.Полезно помнить, что внешние пределы в повторном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Задача 1. Вычислить интеграл RR x + y3 dxdy, где D часть
D
единичного круга, лежащая в I координатной четверти. Решение: Область D является правильной как в направлении оси
Oy, так и в направлении оси Ox.
Ðèñ. 5.
10