559
.pdfРАЗДЕЛ I
Э:lелеumарuые Фуuкции
1. Перечислить свойства, нарисовать графики основных
элементарных функций:
У = х1 , а = 1,2,3,1/2; |
|
х |
у = еХ |
У= log х |
||||
У= а |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
y=lnx |
y=sinx y=cosx y=tgx У= ctgx |
|||||||
У= arcsin х |
У= arccosx у = arctg х |
У= arcctgx |
||||||
2. Построить графики следующих функций: |
|
|||||||
1) |
У = О |
|
|
|
о |
)' х |
||
|
2) У = 6х - х- |
3 |
У = sш- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4) |
У= -3 |
|
5) У= гх+1 |
6) У= со{х+ :) |
||||
7) У = 4х |
|
8) У |
|
1 |
9) У = зsiпх |
|||
|
= (х+ 1) 3 |
|||||||
10) У = 7х- 8 |
11)у=е |
Х |
|
1 |
||||
12)у=-- |
||||||||
|
||||||||
13) У= 0,5 |
+1 |
14) У = е |
|
|
х-2 |
|||
|
15) У= (х-1)2 |
|||||||
|
х |
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16) У= Iln(x+1)1 |
17) У= lnl~ |
18) у = Ixl |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
21) У= I~ -5х+ 61. |
||
19) У = Iх-зl |
20) |
|
х |
|||||
У=- |
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3. Построить на плоскости линии, заданные уравнениями:
1) х= О |
|
2) х2 + У2 = R 2 |
3) У2 = х |
||
4) Зх+15=0 |
5)(x_a)2+(Y_b)2=R2 |
6) ух=о |
|||
7) хс + 2х + Ус = О |
8) х |
С |
- 4х + уС + 2у = 5 |
||
|
9)2х+Зу-6=0.
4
4. Построить графики следующих кусочно-непрерывных
функций:
1) У = { |
2х-1 |
х::; 2; |
{У |
= 2х2 - |
1, |
х < -2 |
' |
|
2) . У = 5, |
х = -2 |
|||
|
-2х+4, |
х>2 |
1У |
= -2х + 7, |
х > -2 |
|
|
|
|
|
|
5. Выписать таблицу значений тригонометрических функ-
~ |
|
л:л:л:л: |
Л:' 2л:. Вы |
ции для основных углов а = |
О' - ' - ' - ' - ' |
||
|
|
'б' 4 '3'2' |
, |
числить SiП(5зЛ:); |
со{5:); tg (74Л:); clg 3: . |
б.В системе координат {ж; ln У} построить графики функ
ций:
1) |
х |
2) |
-kx |
А>О, k>O. |
|
У= е ; |
у=А·е |
, |
|||
3) |
у=е"'; |
4) |
У = 3· е |
сх |
|
РАЗДЕЛ 11
Преобразоваuие а.иебраических выра,жеuиЙ.
Уравuеuия и иеравеисmва.
3) 19 0,1
100М
4) log69+1og68-1og62; 5) lп1б-21п4+1пе-31п1
2. Упростить:
1) а2 -Ь2 |
2) Гх+1 . |
1 |
||
а-Ь |
|
|
с . |
2 |
|
|
1+ v x+x |
х -Гх |
|
з |
з |
2у |
ху |
|
3) х + у |
.(2 2) |
|
||
|
. х -у |
+--- |
2 2' |
|
х+у |
|
х+у |
х-у |
|
5
3. Разложить дробь на элементарные дроби:
|
1) |
Х-8, |
|
|
2) |
о |
2х-1 |
||||||||
|
|
|
(х-Щ х+ 6) |
|
|
|
|
(х + 2х+ 5)( х+ 1) |
|||||||
4. |
Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
Ix -11 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Iзх- 21 + х= 11 |
|||||
3) х-1 =-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Зх2 -4х+1 = О |
||||||
|
х+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) (х2 |
|
|
|
|
= О |
|
|
|
|
||||||
-9)..Jx 2 |
+6х+8 |
|
|
|
6) .J12-x=x |
||||||||||
7) х - 2х- 8 = О |
|
|
|
|
8) gX = 27х-1 |
||||||||||
9) 3 |
Х |
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1О) 5Х - 24 = 52-х |
|||
11) ln х = 51n 2 -ln 4 + ln е -ln е2 |
12) 19x 2 |
= 41g2+1g3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J8 |
13) log x+log |
4=2 |
|
|
|
|
14) 2cosx = - |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
4 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) log2(x+ 14) + log2(x+ 2) = 6 |
16) sinx-cosx= О |
||||||||||||||
17) sin 2 х+2sin х-3 = о |
|
|
|
|
18) tg 3 х+ зtgх= о |
||||||||||
5. |
Решить неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1) -1 < 1 |
|
|
2)х2 -7х+6<О |
|
х |
|||||||||
|
|
|
3) |
22 > 1 |
|||||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х-2 |
|
::;0 |
|
|
|||
|
4) |
Ix - 51 < 1 |
|
5) х2 (х+6) |
|
6) |
Ix + 21;;:: 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. Найти область определения функции: |
|
||||||||||||||
|
1) У= 1n(1 +х) |
2) У |
__ |
х - |
1 |
|
|
1 |
|||||||
|
|
х+1 |
|
3) У= .J2x-1 |
|||||||||||
7. Указать множество значений функции: |
|
||||||||||||||
1)y=2-sin5x |
2)y=11+2cosx |
3)у=3-х |
|||||||||||||
4)у=-2+5Х |
|
5)у=2siпх |
+з |
|
6)у=2-.[; |
6
РАЗДЕЛ 111
Преде:1Ы
1.Дать определение предела функции у лх) в точке (знать его геометрический смысл).
2.Дать определение бесконечно малой величины.
3.Дать определение эквивалентных бесконечно малых ве
личин. Выписать таблицу эквивалентных бесконечно
малых. |
|
|
|
4. Вычислить пределы: |
|
|
|
2 |
arcsin5x |
о |
|
1) 1im х -4х+З |
Х- +Х |
||
2)lim --- |
3)lim, |
о |
|
x~1 ж(х-1) |
X~O tgЗх |
Х )11 Х" - |
х- |
4) 1im ~-1 |
5)lim(1+2'!ЗХ |
|
|
|
|||||
x~2 |
х-2 |
X~X; |
|
:;) |
|
|
|
||
7) 1im |
з:3 |
+ 15х |
8)lim е2sin х |
- |
1 |
9) 1im |
х+2 |
||
X~X; х - 2х+ 3 |
х )11 |
5х |
|
|
Х )1'11 |
х-1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 х |
|
|
||||
10)li11Jx-~] |
11) 1im ( |
х+ 3 ) |
12)lim x-.J3x~4 |
||||||
x"L |
х-+l |
Х )" |
Х + 5 |
|
Х)-+ |
16- х- |
|||
13) 1im sin 2х |
. |
х3 - |
3Х- 2 |
15) 1im |
s~n 7х |
||||
14) 11т |
|
|
о |
||||||
х )П sin 3х |
х)1 |
Х+Х- |
Х )11 |
Х- + JD( |
5. Найти точки разрыва функции и исследовать их харак
тер
1) = х+2 |
X- 51 |
1 |
|
2) у=х+3-- |
3)у=- |
||
У х2 -4 |
I |
|
|
х-5 |
3-Х |
||
4)y=sinx |
|
5Х- ~ x~ 2 |
|
5) У= еХ б) |
f(Xj ={1- 3~ х> 2 |
||
х |
7
РДЗДЕЛIV
Дuффереllцuа'IЫlое UСЧUС:lеlluе ФУIlКЦUU одllОЙ nерелеllllОЙ
Дать определение производной, знать ее геометрический
смысл и знать различные обозначения производной.
2.Дать определение дифференциала, знать его геометри
ческий смысл, знать формулу для вычисления диффе
ренциала через производную.
3.Выписать таблицу производных основных элементарных функций.
4.Записать правила дифференцирования суммы, произве
дения, частного двух функций, правило дифференциро
вания сложной функции.
5.Сформулировать теорему Лагранжа и знать ее геомет
рический смысл.
б. Сформулировать правила исследования функции на мо-
нотонность И экстремумы, интервалы выпуклости и
точки перегиба, наличие асимптот у графика функции.
7. Найти производные первого порядка для следующих
функций:
1) :(tln t)
5) !!.-(_1) |
б) |
dl 21 |
|
8
10)~(arctg2 ~'
dt vt_
,
11)Нх+Ы4J
12)[x~J |
13)~(log,dl' COSI 2 ) |
14) ( ~Гx-+----;~х=+=Гх==х::::::")' |
|||||||
15)х= aгclg(x+у) ;у'(х) =? |
1б)((сtg х)SiПХ) |
|
|||||||
17)(SinX: i |
|
18)у= |
е |
|
-arcsinx , ;у'=? |
||||
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
l+х-) |
|
|
.Jx+2-(x+5)' |
|
|
||
19) |
Х = sin 2,1, |
dy __ " |
{х= In( 1 + t2 ) |
, |
dy? |
||||
|
, |
I 20) У = |
У |
= t- arct!l |
- = . |
||||
|
|
{у = cos-l. |
dx . |
|
dx |
||||
8. Найти дифференциалы следующих функций: |
|
|
|||||||
1) У= In .J1-sinx, dy=? |
|
|
2){3Х_ Jx} |
||||||
3) |
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
У = ( aгcco~)3, dy=? |
|
|
4)y=-,dy=? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
In х |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
5= 4t - 2t |
ds= ? |
|
|
|
|
|
||
|
|
1+t |
' |
|
|
|
|
|
|
б)у=5SiП 'Х, dy=? |
|
|
|
|
|
||||
б) d COSlf(X) =? |
7) d(~sin и2 (х))=? |
8)de'/J CX) 1 =? |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9. Найти производные второго порядка:
9
1):2(sin ах),a~cons! |
2{:] |
|
3) (aгclg-Гxj' |
|||
10. Найти пределы, используя правило Лопиталя: |
||||||
1) |
1im |
х-! |
2) |
1im 1п,х |
|
3) lim х |
|
Х )." |
е.\ |
|
Х )," х- |
|
X~O f!!'-1 |
4) |
. |
х' - |
бх2 + 12х - 8 |
l' |
sin 2х |
|
11т |
" |
5) |
1т--. |
|||
|
Х )2 |
Х" |
- 3х- + 4 |
|
Х |
)П sin 3х |
11. Найти асимптоты (вертикальные и наклонные), интер
валы монотонности, экстремумы, а также интервалы
выпуклости, вогнутости, точки перегиба и построить
графики следующих функций:
1) У= In х |
2) у= х2 -3х |
3) у=хе Х |
Хх-1
4) У = х' - 4х2 - 3х + б |
5) У = 10- 3х - х2 |
|||
11. Показать, что функция у удовлетворяет уравнению: |
||||
|
|
Х |
|
|
1) |
функция У = хе |
2 ,уравнение |
ху' = (1- х2 )у ; |
|
2) |
функция У = Ig 1п 3х |
; уравнение (1 + у2 )dx = xdy ; |
||
3) |
функция У = е |
2х |
; уравнение |
у" + 5у' + бу = О. |
|
|
РАЗДЕЛ V |
|
|
Дuффереllцuа'IЫlое |
UСЧUС:lеlluе ФУIlКЦUU lleCKO:lbKUX |
|||
|
|
nерелеllllЫХ |
|
|
1. Знать определение |
функции |
двух переменных |
||
z = ер( ж; у) . |
|
|
|
2. Знать определение частных производных функции двух переменных и уметь объяснить их геометрический
сер сер
смысл - и
сХ су
10
3. Знать формулу для вычисления полного дифференциала
dz через частные производные |
с".,. |
и |
с".,. |
;"" |
;"". |
||
|
сх |
|
су |
4.Знать определение локального экстремума функции двух
переменных z = ср( х, у) .
5.Найти область определения функций (Н = const):
1) z= ~х2 + у2-11; |
2) z = In( -х- 2у); |
|
|
|||||
3) z = |
') |
1 |
') ') |
4) z = |
|
1 |
|
~ |
|
~Н- - х |
- - у- |
|
~(х- 2) с + (у + 1) с - Нс |
|
|||
5) z= 2х+Зу-1 ; |
б) z = ~уС - х-1 |
|
|
|
||||
|
х-у |
|
|
|
|
|
|
|
б. Дана функция |
f(x.,y) = |
2ху |
|
число |
.f(3,4). |
|||
2 2' Найти |
х+у
Найтифункцию g(х,у)= .f(1, ~) .
7.Найти частные производные 1-го и 2-го порядков для
функций:
1) z= х'" + у - 5X~Y); 2) |
У |
|
х-2у |
. |
|
z = - ' 3) z = |
|
||||
|
|
хС ' |
|
2х+ у' |
|
х |
5) lf = хусZ '/-+ + 3х - 8У + 2z - / + 1. |
|
|||
4) z= У ; |
|
||||
8. Найти полные дифференциалы функций: |
|
|
|
||
1) z=x)y' |
х |
3)z=xe c"y' |
|
||
2)z=cos- |
|
||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
у- |
|
|
|
|
|
5) и=--Г-, |
|
|
|
|
|
vX ·z |
|
|
|
9. Найти производные сложных функций: |
|
|
|
||
d.,. |
2 |
е"'; |
|
||
1) ~ для функцииz = In(x |
- у), где у = |
|
dx
11
2) |
dz |
|
|
|
Ф |
2х-Зу |
|
|
|
|
|
о |
dl |
для ункции z=e |
,где x=lgl,y=I--I; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dlf |
|
|
Ф |
|
|
yz |
1· |
|
|
Г, |
||
3) - для |
|
ункции и=-, где х=2 ,у=sш51,z=-V1··; |
||||||||||
dl |
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
4) z= In(x 2 + у2), |
гдех = uv, у = и, |
cz =?, |
~z =? |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
си |
|
|
cV |
|
10. Показать, что функция z удовлетворяет уравнению: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
7 = У |
. |
|
...... ') |
...... |
2 |
z |
...... ') |
1) функция |
2у с- z |
с |
|
С z |
||||||||
|
,уравнение. |
_ . __ |
+_=_ , |
|||||||||
|
|
|
|
|
Х |
|
|
............ |
...... |
|
2 |
...... 2 |
|
|
|
|
|
|
Х |
схсу |
сх |
|
су |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
...... |
|
......2 |
|
|
...... 2 |
2) функция z = у2 ln х, уравнение: х cz _ ух с z |
|
= х2 С Z . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
Схсу |
Сх2 |
11. Найти экстремумы функции двух переменных:
1)z=3x 2+y2;
2) z = х2 - 4у2 (доказать, что функции нет экстремума);
3)z= х2 +ху+ у2 -Зх-6у; |
|
4) z = х2 + у2 - 2 1n х - 181 n у, |
х > О, У > О . |
РАЗДЕЛ VI
КОЛn:lеКСllые ЧUС:Ш
1.Уметь записать алгебраическую форму z = а + i Ь ком
плексного числа в тригонометрической и показательной
форме.
2 Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные числа, изобразить их на комплексной
плоскости точками или радиус векторами:
51, -1-/, |
.J3 -~I |
-4· i". ;Il. ~ |
|
|
2 |
2' , , ';- |
|
3. Преобразовать |
к |
виду |
z= а+ iЬкомплексные числа; |
изобразить их на комплексной плоскости:
12
1)2-;_1+; 2+; 1-;
4.Найти все значения корня и изобразить их на комплекс-
ной плоскости:
::J-,1'~-1+vJ,,~',ГЗ;· 3Гj.-v-q,v-CJlОб,V· |
-'С-9. ~_125,,\/10,"11б. х'}. |
|
'=4. |
j, |
-1'16. |
5.Решить уравнения и полученные решения изобразить на
плоскости: |
|
|
1) %2 - 2z + 2 = О; |
2) 2%2 + 2z+ 5 = О; |
3) |
%2+2=0; |
|
|
4) z- + бz+ 13 = О; |
5) %2 + z+ 1 = О; |
б). |
Z1 + 8 = О |
|
|
13