Примеры

1. Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

• Найдём . Тогдапри. Нанесём эти точки на числовую ось и укажем сверху знакив каждом из полученных интервалов. Внизу, под осью, укажем при помощи наклонных стрелочек характер поведения функции: убывание или возрастание функции. Затем, под критическими точкамиукажем, какими точками они являются — максимума или минимума (используя правило, данное выше).

x		-1				0
Y'	—	0	+	0	—	0	+
y		Т. мин.		Т. макс.		Т. мин.

2. Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

• Найдём . Тогдапри. Имеем:

x		0
y'	—	∞	+
y		Т. мин.

Определение. График функции называетсявыпуклым (вогнутым) на , если он расположен ниже (выше) касательной, проведённой в каждой точке; точкаграфика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называетсяточкой перегиба.

Определение. Точка , в которойопределена, но либо, либо, илине существует, называетсякритической точкой 2-го рода.

Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:

1) Найти ;2) определить критические точки 2-го рода для ;3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось;4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если , то график функциивыпуклый (вогнутый) на этом интервале. Еслине меняет знак, то в вышеуказанной точке нет перегиба графика функции.

Пример

Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

• Найдём, а затем и. Тогдапри. Укажем знакина каждом из интервалов, на которые разбивают числовую ось эти точки. Внизу, под осью, укажем особенности графика — выпуклый он или вогнутый при помощи условных знаков и , соответственно.

x		0		1		3
y'’	+	0	+	0	—	0	+
y		Нет пере-гиба		Т. пере-гиба		Т. пере-гиба

Определение. Асимптота графика функции — это прямая, такая, что расстояние от переменной точкина графике до прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой, если

(т.е. — точка разрыва 2-го рода).

Определение. Прямая , где,называетсянаклонной асимптотой. В случае, если , соответствующая прямая называетсягоризонтальной асимптотой.

Пример

Найти асимптоты графика функции а) ; б).

• а) Так как — точка разрыва 2-го рода, то— вертикальная асимптота графика.

Найдём теперь асимптоты вида . Определими:

; .

Получаем уравнение наклонной асимптоты: .

б) Вертикальных асимптот у графика нет, так как функция всюду непрерывна. Найдём теперь наклонные асимптоты вида, рассматривая отдельно случаи,.

Так как при , то наклонной асимптоты принет. При,. Таким образом, уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты при:. Заметим, что для вычисления пределамы использовали правило Лопиталя.