Задачи для самостоятельного решения

1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке :

а) ;

б) ;

в) .

2. В какой точке касательная к параболе

а) параллельна прямой ?

б) перпендикулярна прямой ?

3. Найти дифференциал следующих функций :

а) ;б) ;в) .

4. Вычислить приближённо:

а) ;б) .

Ответы

1. а) ; б); в).

2. а) ; б).

4) а) 2,25; б) 1.

Занятие №9.

Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически.

Правило Лопиталя.

1) Пусть надо найти , где(или), т.е. имеет место неопределённость видаили.Тогда:

.

(Предполагается, что существуют производные в окрестности точки, а также существует предел, стоящий справа).

2) Пусть надо найти , где,, т.е. имеется неопределённость вида. Тогда следует сделать преобразование:, получив неопределённость вида, и воспользоваться указаниями в п.1).

3) Пусть надо найти , где,, т.е. имеется неопределённость вида. Тогда сделать подходящее преобразование выраженияи прийти к случаю 1) или 2).

4) Пусть надо найти , где имеется неопределённость вида. Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:

Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела

.

Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует. Тогда правило Лопиталя не применимо.

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана параметрически:

Тогда её производная находится по следующей формуле:

.

Примеры

Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. Найти для функции, заданной параметрически:

а) ;

• ;

б) ;

• .

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы:

1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;13) ;14) ;15) .

16) Найти : а), б), в).

Ответы

1) ; 2) –2; 3); 4) 1; 5); 6); 7) 0; 8) 1; 9) 0; 10) 0; 11); 12); 13) 1; 14); 15) 1; 16) а); б); в).

Занятие №10

Контрольная работа №2 по теме

«Производная функции одной переменной».

Вариант-образец

1. Написать уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой.

• Уравнения касательной и нормали в общем виде:

, .

Здесь ;. Поэтому уравнения касательной и нормали имеют следующий вид:

или ;

или .

2. Найти производную для заданной функции:

а) ;

• 

;

б) ;

• 

.

в) ;

• .

г) ;

• Используем логарифмическое дифференцирование: ;

,

.

д)

• Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле:.

Так как здесь , то.

Занятие №11

Исследование функций:

нахождение интервалов возрастания (убывания) функции, экстремумов, интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба, асимптот графика функции

Определение. Точка называетсяточкой максимума (минимума) функции , еслиокрестность точкивида, такая чтодляиз этой окрестности. Точки максимума и минимума называютсяточками экстремума функции .

Определение. Функция называетсявозрастающей (убывающей) на числовом промежутке , если длятаких, что:

.

Определение. Точка , в которой функцияопределена, но либо, либо, либоне существует, называетсякритической точкой 1-го рода.

Как определять интервалы возрастания (убывания) функции и точки экстремума:

1) Найти ;2) определить критические точки 1-го рода для ;3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось; 4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если на рассматриваемом интервале, товозрастает (убывает) на этом интервале. Если при переходе аргументачерез критическую точкуслева направоменяет знак с «+» на «—» (с «+» на «—»), то— точка максимума (минимума). Если смены знакане происходит, то в точкенет экстремума. Заметим, что все вышеуказанные данные можно поместить в таблицу, как это сделано в приводимых далее примерах.