ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Московская государственная академия тонкой

химической технологии им. М. В. Ломоносова

Кафедра

высшей и прикладной

математики

Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С.

Практикум

по математическому анализу

для студентов вечернего отделения

1-го курса

(Часть II)

Учебно-методическое пособие

Москва, 2006 г.

УДК 512.8:516

ББК С42

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (МАИ им. С Орджоникидзе); к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МИТХТ им. М.В. Ломоносова).

Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С., Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-го курса (Часть II), Учебно-методическое пособие — М.: МИТХТ, 2006 г, 30 стр., рис. 3.

Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Оно является продолжением I–й части одноименного учебно-методического пособия тех же авторов. В часть II включены следующие разделы: «Производная функции одной переменной», «Исследование функций и построение их графиков».

Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 5-ти занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с ответами). В конспекте занятия №10 приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии. Дан перечень 40 вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков».

Пособие предназначено для студентов вечернего отделе-ния вузов химического профиля.

© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2006 г.

Оглавление

Занятие 7.Производная функции одной переменной. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование…………………………………………………….…4

Занятие 8.Уравнения касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке ..………….…………………………………………….………………….…..7

Занятие 9. Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически...………………………………………………………….11

Занятие 10. Контрольная работа №2 по теме "Производная функции одной переменной». Вариант-образец…………………………………………….………………………..14

Занятие 11. Исследование функций: нахождение интервалов возрастания (убывания) функций, экстремумов, интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба, асимптот графика функции……….…………………..……………………….………………..16

Занятие 12. Общая схема исследования функций и построения их графиков…………………………..…………………….……….………...21

Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»…………………………………………………………….……26

Литература………………………………………………………………...29

Занятие 7.

Производная функции одной переменной. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Определение. Приращением функции в точкеназывается следующая разность:

,

где — приращение аргумента в точке.

Определение. Производной функциив точкеназывается следующий предел:

.

Свойства производной:

1. (— константа);

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Таблица производных основных элементарных функций

1. ;

2. ; ;

3. ; ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .

Производная сложной функции

Пусть , т.е.. Тогда

.

Примеры.

Найдём , пользуясь формулой для производной сложной функции:

1. .

• Здесь .

2. .

• Здесь .

Определение. Логарифмическая производная функции — это производная от :

.

Определение. Степенно-показательная функция — это функция вида .

Правило нахождения для степенно-показательной функции

1. Логарифмируем :;

2. Дифференцируем обе части этого равенства: ;

3. Находим из этого соотношения :

.

Примеры нахождения .

1. ;

• ;

2. ;

• ;

3. ;

• а) ; б); в);

4. ;

• а) ;

б) ;

в) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти :

1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;13) ;14) ;15) ;16) ;17) ;18) ;19) .

Занятие №8.

Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке.

Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид:

. (1)

Если , то; если, то.

Определение. Нормаль к кривой в точке— это прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной.

Уравнение нормали к кривой в точкеимеет вид:

. (2)

Если , то; если, то.

касательная случай случай

нормаль

Рис. 1

Определение. Угол между кривыми ,в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисленияиспользуют формулу:

. (3)

Определение. Предположим, что приращение функции в точкеможет быть представлено в виде

,

где — приращение аргумента в точке, функциятакова, что, а- некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называютдифференциалом функции в точкеи обозначают через, т.е.:

.

Приращение обычно обозначают черезиназывают дифференциалом независимой переменной. Таким образом,

.

Можно показать, что и, следовательно,

.

Приближённое вычисление значения функции в заданной точке.

Для этого используется формула:

. (4)

Примеры

1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

• Найдём . Поэтому, согласно формулам (1) и (2):

—уравнение касательной (или );

—уравнение нормали (или ).

2. Найти угол между кривымии, а также уголмежду касательной к кривойв точкеи осью.

• Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение . Оно имеет единственное решение. Найдём,. Далее воспользуемся формулой (3):

.

Поэтому . Как известно (см. геометрический смысл производной),. Поэтому.

3. Вычислить приближённо: а) ; б).

• Во всех случаях подбираем так, чтобы числобыло искомым, алегко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).

а) Возьмём ,. Тогда,,;

б) Возьмём ,. Тогда,,.