
Элементы комбинаторики
Комбинаторика с (лат. соединение, сочетание) — раздел математики изучающий приёмы вычислений числа различных комбинаций.
Какие задачи называют комбинаторными? Те, где спрашивается каким числом можно осуществить требуемое.
1. Принципы в подсчёте числа комбинации или правила суммы и произведения.
Большинство задач решается с помощью этих двух принципов.
Принцип суммы. «Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (т +n) способами».
Применяется в том случае, когда изучаемые комбинации удаётся разбить на несколько классов, причём каждая комбинация входит в один, и только в один класс.
Пример 1......
Принцип
произведения. «Если
объект А можно выбрать т
способами,
и если после каждого такого выбора
объект В можно выбрать n
способами,
то выбор пары «А и В» в указанном порядке
можно осуществить (тn)
способами».
Пример 2......
2. Комбинации по типу перестановок, размещений и сочетаний. Такие комбинации встречаются чаще обычного. Рассмотрим их.
2.1. Перестановки. Пусть имеется множество из n элементов. Установленный в некотором множестве порядок называют перестановкой его элементов.
Примеры перестановок: распределение n различных должностей среди n человек или расположение n различных предметов в одном ряду.
Зададимся вопросом: «Сколько различных перестановок можно образовать в множестве из n элементов!» Число перестановок обозначается Рn (читается "Р из n").
Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...,n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы множества в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно найти (n-1) вариантов заполнения второй ячейки. Таким образом, существует n(n-1) вариантов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти (n-2) варианта заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно n(n-1)(n-2)·…· 3·2 ·1. Отсюда
Рn = n(n-1)(n-2)·…· 3·2 ·1.
Число n (n-2)·…· 3·2 ·1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется «n-факториал» и обозначается n! Отсюда Pn=n!
По определению считается: 1!=1. Но чему равен 0!=?. Для любого n>1 справедливо n!=n(n-1)! Положим n=1, тогда 1!=1·0!, следовательно, 0!=1.
Пример 3. Сколько существует вариантов замещения пяти различных вакантных должностей между пятью кандидатами?
N=5!=5·4·3·2·1=120.
2.2.
Размещения.
Размещениями
из n
элементов
по т
элементов
будем называть упорядоченные подмножества,
состоящие из т
элементов
множества, состоящего из n
элементов.
Число размещений из n
элементов
по т
элементов
обозначается
(читается
"А из n
по
т
").
Зададимся вопросом: «Сколько упорядоченных подмножеств по т элементов в каждом можно получить из заданного множества в n элементов?»
Одно размещение из n элементов по т элементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.
Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений. Сколькими способами можно выбрать из пятнадцати человек пять кандидатов и назначить их на пять различных должностей? Сколькими способами можно из двадцати книг отобрать двенадцать и расставить их в ряд на полке?
В
задачах о размещениях полагается т
< п. В
случае если т=n,
то
легко получить
=
Рn
=n!
Для
вычисления
используем тот же метод, что использовался
для подсчетаРn
только
здесь выберем лишь т
ячеек.
Первую ячейку можно заполнить n
способами,
вторую, при заполненной первой, можно
заполнить (n-1)
способами.
Таким образом, существует n(n-
1)
вариантов заполнения первых двух ячеек.
Можно продолжать этот процесс до
заполнения последней т
-й
ячейки. Эту ячейку при заполненных
первых (m
– 1)
ячейках можно заполнить
n
– (m
– 1) = n
– m
+1 способами.
Таким образом, все т
ячеек
заполняются числом способов, равным
n(n
– 1)(n
– 2)...
(n
– m
+ 2)(n
– m
+ 1)
=
Отсюда
получаем:
Пример 4. Сколько существует различных вариантов выбора четырёх кандидатур из девяти специалистов для поездки в четыре страны?
2.3. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по т элементов называются подмножества, состоящие из т элементов множества, состоящего из n элементов.
Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов, но не порядком их расположения, как у размещений.
Число
сочетаний из n
элементов
по т
элементов
обозначается
(читается "С
из n
по
т
").
Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний. Сколько существует вариантов выбора шести человек из пятнадцати кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях? Сколькими способами можно из двадцати книг отобрать двенадцать книг?
Выведем
формулу для подсчета числа сочетаний.
Пусть имеется множество из n
элементов.
Образуем подмножество, содержащее т
элементов,
т.е. сочетание. Известно число упорядоченных
подмножеств из т
элементов
всего множества из n
элементов,
т.е. размещений из n
по
т
:
.
Количество неупорядоченных подмножеств
будет вm!
раз
меньше. Т.е. во столько раз сколькими
способами можно установить порядок во
множестве из т
элементов.
Следовательно,
.
Пример 5. Шесть человек из пятнадцати можно выбрать числом способов, равным
Несложно понять, что осуществить выбор подмножества из т элементов множества, насчитывающего n элементов, можно, выбрав (n - т) элементов, которые не войдут в интересующее нас подмножество. Отсюда следует свойство числа сочетаний
Эту формулу можно легко доказать, используя формулу для числа сочетаний.