Лекция 2

Конспект лекций 7

Случайный эксперимент, события, исходы.

«Теория вероятностей — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми».

В этом определении есть несколько понятий: случайный эксперимент, случайное событие, вероятность случайного события, связь между случайными событиями. Определим эти понятия и разъясним их на примерах. В усвоении этого круга вопросов и состоит первое знакомство с теорией вероятностей.

В теории вероятностей окружающая нас действительность изучается не во всей её сложности, а только с определенной стороны. При этом строится некоторая схема, другими словами, модель, которая более или менее полно отражает особенности этой действительности. Поступают также как, например, в физике. Рассматривают материальную точку, идеальный газ, абсолютно твёрдое тело и т.п., которые в природе не наблюдаются.

Случайным (стохастическим) экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо набора условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание монеты, игральной кости и подобные. Результатом случайного эксперимента является некоторое событие.

Выделим два важных события. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта. Обычно обозначается оно буквой Е. Например, в результате того же опыта обязательно произойдёт событие « выпал или Г, или Ц» — это достоверное событие. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате опыта. Обозначается оно буквой U. Например, в результате подбрасывания монеты событие « не выпало ни Г, ни Ц» произойти не может — это невозможное событие.

Рассмотрим другой опыт — подбрасывается игральная кость. Результатом опыта могут являться следующие события:

Q₁ = «выпало одно очко»,

Q₂ = «выпало два очка»,

·····································

Q₆ = «выпало шесть очков».

Здесь же можно рассмотреть и другие события, например:

Q_пр = «выпало простое число очков»,

Q_3к = «число выпавших очков делится на три»,

Q_ч = «число выпавших очков чётно»,

Q_нч = «число выпавших очков нечётно».

Выделим некоторые связи между событиями.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте. Два события называются совместными, если они могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте. Так, Q_ч и Q₂ совместны, а Q_ч и Q_нч несовместны.

Событие А, благоприятствуют событию В, если из того, что произошло событие А следует, что произошло и событие В. Пишут АÌ В. Понятно, что Q₃ Ì Q_пр.

Введём следующее определение. Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно происходит в результате опыта, а любые два попарно несовместны, называются множеством исходов или полной группой событий. Каждое событие из этого множества называется исходом или элементарным событием.

Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных исходов. Если монету подбросить один раз, то исходами можно считать выпадение герба (Г) или цифры (Ц). Если случайным экспериментом считать троекратное подбрасывание монеты, то исходами можно считать следующие:

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.

Множество всех исходов случайного эксперимента называется пространством исходов. Будем обозначать пространство исходов буквой W, i-й исход будем обозначать w_i. Если пространство исходов содержит n элементарных исходов, то запишем это так: W=(w₁, w₂ ,..., w_n).

Для троекратного подбрасывания монеты W=(ГГГ, ГГЦ, ..., ЦЦЦ).

Если W конечно или счетно, то случайным событием или просто событием называется любое подмножество W.

Множество называется счетным, если между ним и множеством N натуральных чисел можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Понятие исходов опыта позволяет установить связь между теорией вероятностей и теорией множеств и предать многим утверждениям большую наглядность.

События удобно изображать на диаграммах Венна. На рис. 1 пространство исходов W изображено в виде прямоугольника, а множество исходов, благоприятствующих событию A, заключено в эллипс. Сами исходы на диаграмме Венна не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей.

Введём действия над событиями.

Объединением двух событий А и B (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или B. Объединение событий А и В изображено на рис. 2 в виде заштрихованной области.

Приведем пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает первый стрелок, а событие B — в том, что в мишень попадает второй. Для краткости можно описать и так:

А=

B=.

Событие означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков:

=.

Пересечением событий А и B (обозначается ) называется событие, состоящее из всех тех исходов, которые принадлежат и А, и B. На рис. 3 пересечение событий А и B изображено в виде заштрихованной области. В условиях приведенного выше примера событие заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.

Разностью событий А и B (обозначается А\B) называется событие, состоящее из всех исходов события А, не благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рис. 4.

В условиях рассмотренного выше примера событие А\B заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

Пустое множество Æ является невозможным событием.

Событие =W\A называется противоположным событию А. Диаграмма Венна изображена на рис. 5.

События А и B называются несовместными, если нет исходов, принадлежащих и А, и B, т. е.  = Æ. На рис. 6 изображены несовместные события А и B.

Событие В будем называть следствием события А, если все исходы события А благоприятствуют событию В. То, что из А следует В, записывается символом АÌ В и изображается на диаграмме Венна так, как это показано на рис. 7.

Пример 1. Опыт состоит в том, что бросают две монеты — медную и серебряную. Рассматриваются следующие события:

A = «герб выпал на медной монете»,

B = «цифра выпала на медной монете»,

C = «герб выпал на серебряной монете»,

D = «цифра выпала на серебряной монете»,

M = «выпал хотя бы один герб»,

F = «выпала хотя бы одна цифра»,

G = «выпал один герб и одна цифра»,

H = «не выпало ни одного герба»,

K = «выпали два герба».

Каким из приведённого списка равны следующие события: AC, AC, MF, GM, GM, BD, MK?

Пример 2. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события = «попадание при i-м выстреле, i = 1, 2, 3. Пользуясь действиями над событиями и , записать события:

A = «все три попадания»,

B = «все три промаха»,

C = «хотя бы одно попадание»,

D = «хотя бы один промах».

Пример 3. В поле наблюдения микроскопа находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может как разделиться, так и не разделиться. Рассматриваются события:

A = «разделилась одна клетка»,

B = «разделилась хотя бы одна клетка»,

C = «разделилось не менее двух клеток»,

D = «разделились две клетки»,

E= «разделились три клетки»,

F = «разделились все клетки».

В чём состоят события: AB, AB, BC, BC, DEF, BF?

Верны ли равенства: BF= CF и BC= D?

Пример 4. Назовите противоположные события для событий:

A = «выпадение двух гербов при бросании двух монет»,

B = «появление белого шара. Опыт состоит в вынимании одного шара из урны, в которой лежат белые, чёрные и красные шары»,

C = «три попадания при трёх выстрелах»,

D = «хотя бы одно попадания при пяти выстрелах»,

M = «не более двух попаданий при пяти выстрелах»,

F = «выигрыш первого игрока при игре в шахматы».

Упражнения.

1. В инвестиционном портфеле собраны акции пяти различных корпораций (пяти видов). Событие А состоит в том, что акции первого вида подорожали. Событие В состоит в том, что акции всех пяти видов подорожали.

Опишите события 1) АÈВ; 2) АÇВ; 3) А\В; 4) А\(АÇВ); 5) АÈ.

2. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии “левых”, представитель партии “правых”, представитель партии “зелёных” или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии “левых”. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии “правых” или представитель партии “зелёных”.

Опишите события 1) АÈВ; 2) АÇВ; 3) : 4); 5) .

3. Инвестор собирается вложить капитал в обыкновенные акции. Ему предложены на выбор акции корпораций С1, С2, С3, С4. Инвестор может составить портфель из акций всех четырёх корпораций, может выбрать акции одной, двух или трёх корпораций или может вообще отказаться от предложенных акций. Наличие в портфеле тех или иных акций определяет исход сделки. Событие А состоит в том, что в акционерном портфеле оказываются акции С1, или С2, или и те и другие. Событие В состоит в том, что в портфеле нет ни акций С2, ни акций С3.

Опишите события 1) ; 2) ; 3) АÈ; 4) АÇВ; 5) А\.

Подсчитайте число исходов в каждом из приведенных выше событий.

Ответы.

1. 1) А; 2) В; 3) акции первого вида подорожали, а какие-то из акций либо подешевели, либо остались в прежней цене; 4) А\В; 5) W.

2. 1) губернатор будет избран; 2) Æ; 3) если губернатор будет избран, то он не будет “левым”; 4) губернатор не будет избран 5) если губернатор будет избран, то он будет “левым”.

3. 1) если акции куплены, то среди них не будет ни акций С1, ни акций С2. Число исходов — 4. Для решения этой задачи изобразим выбор инвестора в виде последовательности из четырёх цифр. Первая цифра — 0, если акции С1 не куплены и — 1, если акции С1 куплены. Вторая цифра — 0, если акции С2 не куплены, и т. д. Очевидно, что у инвестора всего 16 возможностей выбора. Событие состоит в том, что первые две цифры в такой последовательности – нули. Каждая из двух последних цифр может быть нулём или единицей, следовательно, возможно 4 исхода.

2) акции будут куплены и среди них будут либо акции С2, либо акции С3, либо и те и другие. Число исходов — 12. Это следует из того, что в описанной выше последовательности хотя бы одна из двух цифр, занимающих второе и третье место, должна быть единицей, то есть, возможны следующие комбинации этих цифр: 10, 01, 11. Каждая из этих трёх комбинаций может встретиться с четырьмя возможными комбинациями нулей и единиц, стоящих на первом и четвёртом местах.

3) из всех шестнадцати исходов сюда не входят лишь два исхода, изображаемые последовательностями, начинающимися с цифр 000. Это значит, что если акции будут куплены, то не может быть ситуации, при которой в портфель не войдут ни акции С1, ни акции С2 ни акции С3.

4) акции куплены и возможны только два варианта состава портфеля: только акции С1 или акции С1 и С4. Это значит, что последовательность цифр должна начинаться с тройки 100.

5) А\ = АÇВ. В справедливости этого равенства убедитесь, построив диаграмму Венна. Ответ здесь тот же, что и в пункте 4).