Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

Величина — называется относительной частотой значения признака x_i . Естественно считать величину выборочной оценкой параметра Mξ . Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию

.

можно считать точечной оценкой дисперсии Dξ генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками х и у. Например, в различных районах города измеряется концентрация вредных веществ в воздухе и фиксируется количество легочных заболеваний граждан в месяц. Или через равные промежутки времени сопоставляются доходность акций конкретной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину (ξ,η). Эта случайная величина принимает значения (х,у) на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин ξ и η, нельзя говорить о наличии или тесноте корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где отобранный объект (i, j) представлен парой чисел (х_i,у_j), i =1,2, ..., m; j =1,2, ..., n.

yj xi	y1	y2	…	yn
x1	n11	n12	…	n1n
x2	n21	n22	…	n2n
…	…	…	…	…
xm	nm1	nm2	…	nmn

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

где ,

Выборочный коэффициент корреляции r_xy можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции ρ_ξη, характеризующего генеральную совокупность.

Свойства несмещённости, состоятельности и эффективности точечных оценок.

Точечные оценки являются случайными величинами, поскольку вычисляются по выборке и, естественно, различаются от выборки к выборке. Так какое же значение из них предпочесть?

Вводимые точечные оценки параметров должны удовлетворять трём свойствам: несмещённости, состоятельности и эффективности.

Пусть выборочный параметр δ рассматривается как выборочная оценка параметра θ генеральной совокупности. Если при этом выполняется равенство Mδ =θ, то такая выборочная оценка называется несмещённой.

Можно доказать, что точечная оценка для математического ожидания генеральной совокупности удовлетворяет этому условию: . А точечная оценка Dх для дисперсии нет. Поэтому её «поправляют» и вводится новая точечная оценка — исправленная выборочная дисперсия — , которая уже является несмещённой:

Полученная из выборки объема n точечная оценка δ_n параметра θ генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к θ. Это означает, что для любых положительных чисел ε и γ найдется такое число n_εγ, что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > n_εγ выполняется условие .

Доказательство и этого свойства выходит за рамки нашего курса.

Пусть имеется ряд несмещённых точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной.

Можно доказать, что для и s² и Ds² минимальны. Т.е. для точечной оценки, построенной по иному, дисперсия будет больше.

Таким образом, , s² и r_xy являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин Мξ, Dξ и ρ_ξη генеральной совокупности.

Задача 3. По выборке, приведённой в Задаче 1, вычислить и s² .

Решение приводится на доске.

Задача 4. Задана двумерная выборка (х₁,у₁), (х₂,у₂), …. , извлечённая из двумерного распределения случайных величин (ξ, η). Чему равны и r_xy?

yj xi	─2	0	1
2	10	20	0
3	20	30	20

Решение приводится на доске.