Вариационный ряд

Пусть для объектов генеральной совокупности определен некоторый признак или числовая характеристика, которую можно замерить (размер детали, удельное количество нитратов в дыне, шум работы двигателя). Эта характеристика — случайная величина , принимающая на каждом объекте определенное числовое значение. Из выборки объема n получаем значения этой случайной величины в виде ряда из n чисел:

х₁, х₂,..., х_n .

Эти числа называются значениями признака. Среди чисел ряда могут быть одинаковые числа. Упорядочим значения признака в порядке возрастания, написав каждое значение лишь один раз, а затем под каждым значением х_i подпишем число m_i, показывающее сколько раз встречается данное значение, то получится таблица, называемая дискретным вариационным рядом:

хi	х1	х2	х3	···	xn
mi	m1	m2	m3	···	mk

Число m_i, называется частотой i-го значения признака. Очевидно, .

Если промежуток между наименьшим и наибольшим значениями признака в выборке разбить на несколько интервалов одинаковой длины, каждому интервалу поставить в соответствие число выборочных значений признака, попавших в этот интервал, то получим интервальный вариационный ряд. Если признак является непрерывной случайной величиной, то выборку приходится представлять именно таким рядом. Если в вариационном интервальном ряду каждый интервал заменить лежащим в его середине числом, , то получим дискретный вариационный ряд. Такая замена вполне естественна. Например, при измерении размера детали с точностью до одного миллиметра всем размерам из промежутка [49,5; 50,5) будет соответствовать одно число, равное 50.

Задача 1. В результате выборки получены числа

–3; 2; –1; –3; 5; –3; 2.

а) Для обработки выборки полезно построить точечную диаграмму. И её обязательно строят при обработке выборочных данных.

О

бъём выборки равен n=7.

Теперь просто составить таблицу, которая и есть дискретный вариационный ряд.

хi	–3	–1	2	5
mi	3	1	2	1

б) Построим другую таблицу, удобную для дальнейших выкладок.

хi	–3	–1	2	5
mi/n	3/7	1/7	2/7	1/7

в) Выпишем эмпирическую функцию распределения F*(х) аналогично тому, как строили функцию распределения для дискретных случайных величин.

Построим график эмпирической функции распределения F*(х):

г) Построим полигон частот (или полигон относительных частот, если по оси у отложить m_i/n :

Задача 2. Построить гистограмму частот (или гистограмму относительных частот) по заданному дискретному вариационному ряду

хi	–2	0	1	2	3	5	7
mi	4	5	7	8	6	2	1

Решение.

Объём выборки равен n =33.

Разобьём весь промежуток [–2;7] на отрезки равной длины, например, на четыре

отрезка. Следовательно, длина каждого отрезка

Высоту каждого прямоугольника выберем так, чтобы его площадь была равна числу

значений х_i, попавших в конкретный промежуток: h_j·l = m_j. Тогда . Следовательно, площадь такого многоугольника, который составлен из так построенных прямоугольников, равна объему выборки n. Результаты расчётов сведём в таблицу:

Интервал	[-2; 0,25)	[0,25; 2,5)	[2,5; 4,75)	[4,75; 7]
mj	9	15	6	3
hj	4	20/3	8/3	4/3

Теперь построим многоугольник, который называют гистограммой.

О

т выбора длины отрезка l зависит большая или меньшая выразительность гистограммы.