4. Вычисляем коэффициенты уравнения линейной регрессии.

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом

Y = a + b•X       ( 4.1 ),    где: 

b =

Rx,y

σy σx

=

Rx,y

Sy Sx

( 4.2 ),

a = M_y - b•M_x     ( 4.3 )

Рассчитанный по формуле ( 4.2 ) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным. Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам :

σy/x= σy

√ 1-R2x,y

= Sy

√ 1-R2x,y

( 4.4 )

- абсолютная погрешность,

δy/x=

σy/x My

100%     ( 4.5 )     - относительная погрешность

Величину σ_y/x (формула  4.4 ) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением ( 4.1 ), при фиксированном (заданном) значении X.

4.1. Вычислим отношение

σy2 σx2

.

σ_y² / σ_x²  =  5.42149 /  14.72727 =  0.36813

4.2. Вычислим отношение

σy σx

.

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим: σ_y / σ_x  =  0.60673 4.3 Вычислим коэффициент b по формуле ( 4.2 ) b =  -0.34591 •  0.60673 =  -0.20988 4.4 Вычислим коэффициент a по формуле ( 4.3 ) a =  13.18182 - ( -0.20988 •  51.00000) =  23.88552 4.5 Оценим погрешности уравнения регрессии. 4.5.1 Извлечем из σ_y² квадратный корень получим:

σy=

√ 5.42149

= 2.32841 ;

4.5.2 Возведем в квадрат R_x,y получим: R²_x,y = -0.34591² = 0.11966 4.5.3 Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 4.4 )

σy/x=  2.32841

√ 1 - 0.11966

= 2.18467

4.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле ( 4.5 ) δ_y/x = ( 2.18467 /  13.18182)100% = 16.57335%

ОТВЕТ:	Уравнение линейной регрессии имеет вид:     Y = 23.88552 -0.20988 X( 4.6 )
	Погрешности уравнения: σy/x=  2.18467 ;     δy/x=  16.57335%

5. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.

Диаграмма рассеяния — это графическое изображение соответствующих пар (x_k , y_k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной. 5.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 5-й и 8-й элементы соответственно, x_min =  46.00000 и x_max =  60.00000. 5.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 8-й и 9-й элементы соответственно, y_min =  10.00000 и y_max =  18.00000. 5.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x₅ =  46.00000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x₈ =  60.00000 и отчетливо различались остальные точки. 5.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y₈ =  10.00000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y₉ =  18.00000 и отчетливо различались остальные точки. 5.5. На оси абсцисс размещаем значения x_k, а на оси ординат значения y_k. 5.6. Наносим точки (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ),…,(x₁₁, y₁₁ ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже. 5.7. Начертим линию регрессии. Для этого найдем две различные точки с координатами (x_r1 , y_r1) и (x_r2 , y_r2) удовлетворяющие уравнению (4.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x_min =  46.00000. Подставим значение x_min в уравнение (4.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (  46.00000, 14.23120 ). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x_max =  60.00000. Вторая точка будет: (  60.00000, 11.29293 ). Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом 

Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (M_x , M_y).