Задача: Имеется связанная выборка из 11 пар значений (х_k,y_k):

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xk	51.00000	50.00000	48.00000	51.00000	46.00000	47.00000	49.00000	60.00000	51.00000	52.00000
yk	13.00000	15.00000	13.00000	16.00000	12.00000	14.00000	12.00000	10.00000	18.00000	10.00000

k	11
xk	56.00000
yk	12.00000

Требуется вычислить/построить:    - коэффициент ковариации;    - коэффициент корреляции;    - проверить гипотезу зависимости случайных величин X и Y, при уровне значимости α = 0.05 ;    - коэффициенты уравнения линейной регрессии;    - диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии;

РЕШЕНИЕ:

1. Вычисляем коэффициент ковариации.

Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

cov(X,Y)

=

1 n

n Σ k = 1

(xk-Mx)(yk-My)     ( 1.1 ),    где:

Mx

=

1 n

n Σ k = 1

xk,

My

=

1 n

n Σ k = 1

yk( 1.2 ),    - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

То есть, ковариация, это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин 1.1. Вычислим оценку математического ожидания случайной величины Х. 1.1.1. Сложим последовательно все элементы выборки X x₁ + x₂ + … + x₁₁ =   51.00000 + 50.00000 + ... + 56.00000 = 561.000000 1.1.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  561.00000 / 11 =  51.00000 M_x =  51.000000 1.2. Аналогичным образом вычислим оценку математического ожидания случайной величины Y. 1.2.1. Сложим последовательно все элементы выборки Y y₁ + y₂ + … + y₁₁ =   13.00000 + 15.00000 + ... + 12.00000 = 145.000000 1.2.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  145.000000 / 11 =  13.18182 M_y =  13.181818 1.3. Вычислим значения центрированных величин (x_k-M_x) и (y_k-M_y) для всех элементов выборки. Результаты занесем в таблицу 1. 1.4. Вычислим произведение центрированных величин (x_k-M_x)•(y_k-M_y). Результаты занесем в таблицу 1.

Таблица 1

k	xk	yk	( хk-Mx )	( yk-My )	( хk-Mx )•( yk-My )
1	2	3	4	5	6
1	51	13	0.00000	-0.18182	0.00000
2	50	15	-1.00000	1.81818	-1.81818
3	48	13	-3.00000	-0.18182	0.54545
4	51	16	0.00000	2.81818	0.00000
5	46	12	-5.00000	-1.18182	5.90909
6	47	14	-4.00000	0.81818	-3.27273
7	49	12	-2.00000	-1.18182	2.36364
8	60	10	9.00000	-3.18182	-28.63636
9	51	18	0.00000	4.81818	0.00000
10	52	10	1.00000	-3.18182	-3.18182
11	56	12	5.00000	-1.18182	-5.90909

1.5. Вычислим ковариацию cov(X,Y) как среднее значение элементов 6-го столбца таблицы 1. 1.5.1. Сложим последовательно все элементы 6-го столбца y₁ + y₂ + … + y₁₁ =   0.00000 + -1.81818 + ... + -5.90909 = -34.000000 1.5.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  -34.000000 / 11= -3.09091 ОТВЕТ:      cov(X,Y) =  -3.090909

2. Вычисляем коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:

Rx,y

=

cov( X,Y ) σxσy

( 2.1 ),    где:

cov( X,Y ) - ковариация случайных величин Х и Y 

σx2

=

1 n

n Σ k = 1

(xk-Mx)2,

σy2

=

1 n

n Σ k = 1

(yk-My)2( 2.2 ),    - оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.

Mx

=

1 n

n Σ k = 1

xk,

My

=

1 n

n Σ k = 1

yk( 2.3 ),    - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

или по формуле

Rx,y

=

Mxy- MxMy SxSy

( 2.4 ),    где:

Mx

=

1 n

n Σ k = 1

xk,

My

=

1 n

n Σ k = 1

yk,

Mxy

=

1 n

n Σ k = 1

xkyk( 2.5 )

Sx2

=

1 n

n Σ k = 1

xk2- Mx2,

Sy2

=

1 n

n Σ k = 1

yk2- My2( 2.6 )

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 2.4 ) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу ( 2.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

2.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ) для этого воспользуемся результатами представленными в таблице 1, дополнив последнюю двумя новыми столбцами в которые запишем (предварительно вычислив) значения квадратов центрированных случайных величин (x_k-M_x)² и (y_k-M_y)². Получим таблицу 2.

Таблица 2

k	xk	yk	( хk-Mx )	( хk-Mx )2	( yk-My )	( yk-My )2
1	2	3	4	5	6	7
1	51	13	0.00000	0.00000	-0.18182	0.03306
2	50	15	-1.00000	1.00000	1.81818	3.30579
3	48	13	-3.00000	9.00000	-0.18182	0.03306
4	51	16	0.00000	0.00000	2.81818	7.94215
5	46	12	-5.00000	25.00000	-1.18182	1.39669
6	47	14	-4.00000	16.00000	0.81818	0.66942
7	49	12	-2.00000	4.00000	-1.18182	1.39669
8	60	10	9.00000	81.00000	-3.18182	10.12397
9	51	18	0.00000	0.00000	4.81818	23.21488
10	52	10	1.00000	1.00000	-3.18182	10.12397
11	56	12	5.00000	25.00000	-1.18182	1.39669

2.2. Вычислим σ_x² как среднее значение элементов 5-го столбца таблицы 2. 2.2.1. Сложим последовательно все элементы 5-го столбца   0.00000 + 1.00000 + ... + 25.00000 = 162.000000 2.2.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  σ_x² =  162.00000 / 11 =  14.727273 2.3. Вычислим σ_y² как среднее значение элементов 7-го столбца таблицы 2. 2.3.1. Сложим последовательно все элементы 7-го столбца   0.03306 + 3.30579 + ... + 1.39669 = 59.636364 2.3.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  σ_y² =  59.636364 / 11 =  5.421488 2.4. Вычислим произведение σ_x²σ_y². σ_x²σ_y² =  14.727273• 5.421488 =  79.843727 2.5. Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение σ_xσ_y. σ_xσ_y =  8.935532 2.5.Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ).

Rx,y

=

cov( X,Y ) σxσy

=  -3.090909 /  8.935532 =  -0.345912

ОТВЕТ:      R_x,y  =  -0.345912