Замечания.
1. На шагах 2 и 3 реализуется эвристическая процедура поиска границ интервала неопределенности, где изменение знака производной свидетельствует о переходе через точку минимума.
2. Формула, используемая на
шаге 5, гарантирует, что точка
не выйдет за границы
интервала [х1,х2].
3. На шаге 6 проверяется,
действительно ли точка
является приближением к минимуму.
4. На шаге 7 из трех точек
х1,
х2,
выбираются две, в
которых знаки первых производных
различны, после чего процедура кубической
интерполяции повторяется.
5. Интерполяционный полином третьей степени строится по двум точкам вместо обычных четырех, так как в каждой точке используется информация о производной.
Пример 6.7. Найти
минимум функции
методом кубической
интерполяции.
1. Зададим х0=1;
;
;
.
2. Вычислим
;
.
3. Так как
,
то
.
Вычислим
.
Поэтому
,
M = 1.
40.
Положим
,
и вычислим
;
;
;
50. Вычислим
;
;
;
;
.
60.
Проверим условие убывания. Так как
,
то переходим к шагу 7.
70.
Проверим условие окончания:
.
Условие не выполняется. Так как справедливо
,
то
;
.
Переходим к шагу 5.
51.
Вычислим
,
;
;
;
.
61.
Проверим условие убывания. Так как
,
то переходим к шагу 7.
71.
Проверим условия окончания:
(выполняется) и
(выполняется). Поэтому расчет окончен
и
.
Точная координата точки минимума
,
откуда следует, что применение кубической
интерполяции даёт лучший результат,
чем применение квадратичной интерполяции.
Варианты заданий. Таблица 1.
|
№ варианта |
Метод сканирования |
Метод половинного деления |
Метод золотого сечения |
Метод кубической интерполяции |
|
|
Для функции: R(x)=DSin(Ax+C) найти
максимум на следующем интервале: x |
Найти безусловный минимум
функции f(x)
одной переменной,
т.е. такую точку
|
||
|
1. |
А=1,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
2. |
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
Найти минимум функции
х0=0,5;
|
|
3. |
А=2,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=2,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=2,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=0,5;
|
|
4. |
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
5. |
А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε ε =0,04
|
А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
6. |
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=1,0; С=2,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=0,5;
|
|
Продолжение таблицы 1. |
||||
|
7. |
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=1,0; В=2,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
8. |
А=2,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=2,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
А=2,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
9. |
А=3,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=3,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=3,0; В=1,0; С=2,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
|
10. |
А=4,0; В=1,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=4,0; В=1,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
А=4,0; В=1,0; С=1,0; D=2,0. Ошибка задается по х: ε =0,05
|
Найти минимум функции
х0=1;
|
,
что
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.
=
=
=
;
;
.