
ГОС / 45
.doc45. Колебания кристаллической решетки.
3.1. Колебания одномерной цепочки упруго-связанных атомов. Закон дисперсии. Фазовая скорость упругих волн.
Рассмотрим цепочку
из одинаковых атомов с массами
,
между которыми действуют упругие силы
(рис.6).
Б
удем
учитывать только взаимодействие соседних
атомов.
Крестиками на рисунке обозначены
равновесные (идеальные) расположения
атомов:
,
,
- отклонения соответствующих атомов от
равновесных положений.
Силы упругости между атомами возникают при изменении расстояний между ними, поэтому сила, действующая на n атом со стороны n+1, может быть записана (закон Гука)
=-
(
-
)
и аналогично для силы, действующей на n атом со стороны n-1 имеем
=-
(
-
),
где
-коэффициент
упругости, то есть силы пропорциональны
изменению расстояний между атомами.
Рассматривая
задачу классически, запишем второй
закон Ньютона для атома n
узла
или
(3.1)
Решение (3.1) можно искать в виде бегущей по цепочке монохроматической волны
=
(3.2)
Подставляя (3.2) в (3.1), получим
-=-
(
)
или
=
(
)
По формуле Эйлера
следовательно,
(3.3)
Выражение (3.2) является решением (3.1), если удовлетворяется условие (3.3), то есть
(3.4)
Проанализируем смысл решения (3.2) и соотношения (3.4). Величина na дает координату равновесного расположения n атома. Если вместо na писать x, то выражение
(3.5)
о
писывает
плоскую монохроматическую волну, бегущую
в направлении оси x, где
Α-амплитуда волны, q-волновое
число
,
-
частота волны. Фазовая скорость
волны определяется выражением vф
,
групповая скорость vгр
.
В отличие от (3.5), описывающего волну в
непрерывной среде (координата x
имеет любое значение), выражение (3.2)
описывает волну в дискретной среде.
Однако и в данном случае можно ввести
понятие волнового числа, частоты, фазовой
и групповой скоростей. Соотношение
(3.4) устанавливает связь между частотой
и волновым числом (длиной волны) упругой
волны в цепочке атомов и оно носит
название закона дисперсии. Задавая
волновое число с помощью закона дисперсии
(3.4) можно определить частоту волны и
восстановить решение (3.2). Поскольку
волны в кристалле с волновыми числами,
отличающимися на
тождественны (это непосредственно видно
из (3.2) и (3.4)), то как и для электронов
закон дисперсии можно рассматривать
только в пределах первой зоны Бриллюэна,
то есть от
до
(рис.
)
=
-предельная
частота упругих волн цепочки атомов.
При малых значениях q
(длинные волны), когда
,
и частота пропорциональна волновому
числу
=
При этом фазовая
скорость равна групповой vф
= vгр =
(3.6)
Скорость продольных упругих волн, следовательно, пропорциональна корню квадратному из отношения модуля упругости к массе атома в цепочке.