§ 3. Равномерная непрерывность функции.

Вставка 1.

Определение1. Функцияf, определенная на промежутке, называетсяравномернонепрерывной на этом промежутке, если> 0=() > 0:,<<.

Вставка 2.

Теорема1(Кантор). Если функцияf определена и непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Предположим противное, т.е. такое, что, но.

Возьмем, например, . Тогда получим две последовательностиитакие, что, но .

По теореме Больцано-Вейерштрасса . Тогда и.

Так как функция непрерывна в точке, то, т.е.. Это противоречит тому, что.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Вставка 3.

Определение 2. Для каждого> 0 назовеммодулем непрерывности функцииf на множествеЕ Rвеличину,.

Очевидны следующие свойства:

1) ,;

2) (f,)0; 3)(f,) не убывает по.

Вставка 4.

Теорема2. Для того чтобы функцияfявлялась равномерно непрерывной на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы.

Доказательство. 1) Пусть функцияfравномерно непрерывна на множествеЕ, т.е.> 0() > 0: , , а потому при 0 <<() справедливо, т.е если 0 <<(), то(f,) <. Это и означает, что.

2) Пусть теперь выполнено условие , т.е.> 0() > 0:, 0 <<(), имеет место неравенство 0(f,) <. Зафиксируем и выбеоем точки такие, что . Для них будем иметь (f,) <, что и означает равномерную непрерывность функцииfна множестве Е.

Вставка 5.

Вопросы и упражнения.

1. Сформулируйте в положительном смысле отрицание равномерной непрерывности функции на промежутке.

2. Докажите, что если функция f определена и непрерывна на полупрямой [a; +) и существует конечный, то функцияfравномерно непрерывна на [a; +).

3. Приведите пример функции, равномерно непрерывной на [a; +), у которойне существует.

4. Докажите, что равномерно непрерывная на промежутке функция ограничена на этом промежутке. Верно ли обратное утверждение?

5. Докажите, что сумма и произведение двух равномерно непрерывных на одном промежутке функций есть функция равномерно непрерывная на этом промежутке.

6. Найти: а) наE=R\{0}; б)наЕ = (0; 1).

7. Доказать неравенство .

§ 4. Обобщение понятия непрерывности.

В § 1 при определении непрерывности функции в точке х₀предполагалось, что функция определена в некоторой окрестностиО(х₀). Если отказаться от этого условия, то получим следующее определение.

Определение. Функцияf, определенная на множествеD_fR, называется непрерывной в точкех₀D_f(по множествуD_f), если> 0=() > 0:xD_f, |x-х₀| <,|f(x) –f(х₀)| <.

В приведенном определении не предполагается даже того, что точка х₀есть точка сгущения множестваD_f, а потому в любой изолированной точке множестваD_f функцияf непрерывна. Таким образом, данное определение непрерывности функции в точке дается не через предел, который даже может не существовать.

Пример 1.. Эта функция определена только в изолированных точкахх= 0,1,2,…, но в смысле приведенного определения функция в этих точках непрерывна.

Пример 2. . Здесьх= 0 – точка сгущения множестваD_f, причем, т.е. функцияfнепрерывна в точке х = 0, хотя никакаяО(0) не принадлежитD_f.

Нетрудно проверить, что при данном определении непрерывности справедливы все свойства, доказанные в §1, причем в теореме 4 (о непрерывности сложной функцииF(x) =) в точкех₀можно отказаться от условия.

Докажем для примера теорему о непрерывности суммы двух непрерывных функций.

Пусть функции f иgнепрерывны в точкех₀, т.е. > 0₁,₂> 0:x D_f, |x-х₀| <₁,|f(x) –f(х₀)| </2 иxD_g, |x-х₀| <₂,|g(x) –g(х₀)| </2.

Рассмотрим функцию f + g, которая определена, по крайней мере, в точкех₀. ТогдаxD_fD_g, |x -х₀| <( =min(₁,₂)), выполнено

|(f+g)(x) - (f+g)(x₀)||f(x) –f(х₀)| + |g(x) –g(х₀)| <,

что и доказывает непрерывность функции f + g в точкех₀.

Отметим, что приведенное обобщение понятия непрерывности, приводящее к непрерывности функции в изолированных точках, мало содержательно в последнем случае, поскольку идет в разрез с привычным геометрическим представлением непрерывности и представляет собой вырожденный случай.

Вопросы и упражнения.

1. Почему в приведенном определении функция непрерывна в каждой изолированной точке?

2. Сформулировать определение непрерывности в точке по множеству через последовательности (по Гейне).

3. Пусть функция fнепрерывна в точкех₀по множествуЕ,ЕDи функцияfопределена наD. Будет ли эта функция непрерывной в точкех₀по множествуD?

4. Показать, что функция Дирихле непрерывна в точке х= 0 по множеству рациональных чисел, но не является непрерывной по множеству действительных чисел.

52