§ 2. Свойства функций, непрерывных на промежутке.

Определение 6. Функция, определенная на промежуткеи непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом промежутке. При этом под непрерывностью в концевой точке, если она принадлежит промежутку, понимается односторонняя непрерывность.

Множество, непрерывных на [a;b] функций обозначается через С[a;b].

Теорема 1 (Вейерштрасс). Пусть f  С[a; b]. Тогда функция f ограничена на отрезке [a; b] и достигает на нем своих точных верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть функциянепрерывна на отрезке [a;b] и, где. Покажем, чтои что

Так как , то

(1)

Выберем какую-либо последовательность {a_n} такую, что

. (2)

Из определения следует, что

>. (3)

Так как последовательность ограничена (), то по теореме Больцано - Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность

, (4)

причем из теоремы о "зажатой"функции получим, что.

Из неравенств (3) и (1) следует, что

(5)

Из теоремы 1 (гл. II, § 4) и формулы (2) следует, что. По теореме о"зажатой"последовательности из предыдущего неравенства получим, что

. (6)

С другой стороны, в силу непрерывности функции на отрезкеи из (4) имеем, откуда и из (6).

Таким образом, совпадает си, следовательно,- конечно. Тем самым функцияограничена сверху и ее точная верхняя грань достигается в точке.

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает своей точной нижней грани.

Вставка 1.

Теорема2 (Больцано-Коши, о промежуточных значениях). ПустьfC[a;b] ито

Д

оказательство. Пусть для определенностиА < В иA < C < B. Разделим отрезокточкойна два равных отрезка (см. рис.). Тогда либои, значит,, либои тогда на концах одного из полученных отрезков функцияfпринимает значения, лежащие по разные стороны от числаС. Обозначим этот отрезок черези разделим его на два равных отрезка точкойи т.д. В результате либо через конечное число шаговпридем к искомой точке, либо получим последовательность стягивающихся сегментовтаких, что

. (7)

Пусть с- общая точка этой системы; для нее. Поэтому в силу непрерывности функции (по Гейне ) в точкесполучим

(8)

Из (7) и (8) следует нужное:

Вставка 2.

Следствие. Пусть функциянепрерывна на промежутке. Тогда ее область значений есть промежуток, где.

Доказательство. Возьмем произвольное число. Из определения точных граней:. Тогда по теореме Больцано - Коши:

Вставка 3.

Лемма. Монотонная на промежуткефункцияможет иметь влишь точки разрыва первого рода (скачки).

Доказательство. Пусть функция, например, не убывает их₀, не являясь левым концом этого промежутка. Тогда, согласно следствию к теореме 4 (§4, гл.III) существует конечный предел( х₀-). А так как функцияне убывает, тоx<х₀,х₀, выполненоf(x)f(x₀) и, следовательно,( х₀-)f(x₀).

Рассуждая аналогично, получим f(x₀)( х₀+).

Таким образом, имеем

f(х₀-)f(x₀)f(х₀+),

где f(х₀-) иf(х₀+) - конечные числа и х₀ – внутренняя точка промежутка. Поэтому в точкех₀может быть только скачок.

В случае, если х₀ –концевая точка промежутка, то этот же факт следует из левой или правой части последнего соотношения.

Теорема3. Для того, чтобы монотонная функция была непрерывной в промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее значения заполняли сплошь некоторый промежуток.

Доказательство. Необходимость показана в следствии к теореме 2. Докажем достаточность для случая неубывающей функцииf. Предположим, что в некоторой внутренней точкех₀функцияf имеет разрыв. Тогда это разрыв первого рода (скачок) и, следовательно, существуют конечные не равные между собой пределыf(х₀-) иf(х₀+). В виду неубывания функцииfимеемf(х)f(х₀-) дляx<x₀,x, иf(х)f(х₀+) дляx>x₀,x, т.е. значения, лежащие междуf(х₀-) иf(х₀+), не принимаются функциейf, что противоречит условию теоремы.

Аналогично рассматривается случай, когда х₀– концевая точка; тогда вместо одного из пределов беретсяf(х₀).

Теорема4. Монотонная на интервале (a;b) функция может иметь не более, чем счетное множество точек разрыва.

Доказательство.Пусть для определенности функцияf не убывает на (a;b) иЕ– множество точек разрыва функцииfна (a;b). Каждой точкехЕ поставим в соответствие рациональное числоr(x), удовлетворяющее условиюf(х₀-) <r(x) <f(х₀+). Ясно, чтоr(x₁) <r(x₂), еслих₁<х₂. т.к.f(x₁+) <f(x₂-). Таким образом, множествоЕэквивалентно подмножеству множества рациональных чисел, которое не более, чем счетно.

Теорема5 (существование и непрерывность обратной функции). Пусть функцияопределена, непрерывна и возрастает (убывает ) в некотором промежутке. Тогда на множествесуществует обратная к ней функция, также возрастающая (убывающая ) и непрерывная на.

Доказательство.1) Пусть для определенностивозрастает. По следствию=. Тогда. Ввиду возрастания функциитакое- единственное. Сопоставим именно этовзятому, получим соответствие, которое приводит к функции.

2) Легко видеть, что функция возрастает на. Действительно, пусть, и. Положим. Тогда. Если бы было, то в силу возрастания функциибыло бы, что противоречит условию. Следовательно,.

3) И наконец, из теоремы 3 следует, что функция непрерывна промежутке.

Вставка 4.

Теорема 6. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

Доказательство. 1) Непрерывность тригонометрических функций следует из примеров, рассмотренных ранее.

2. Непрерывность обратных тригонометрических функций вытекает из теоремы 5.

3) В предыдущей главе было показано: . Используя формулу перехода к другому основанию логарифмов (a> 0,a1) и соответствующую теорему о пределах, получим:, что и означает непрерывность функциив области определения.

4) Показательная функция непрерывна по теореме 5 как обратная к логарифмической.

5) Степенная функция непрерывна по теореме 4 (§ 2), поскольку

6) Аналогично убеждаемся в непрерывности степенно-показательной функции .

7) Непрерывность элементарных функций в своих областях определения следует из доказанной непрерывности основных элементарных функций и соответствующих теорем § 2, 3.

Вопросы и упражнения.

1. Пусть функция fопределена и непрерывна на отрезке [a;b] иf(x) > 0х[a;b]. Доказать, чтос> 0: f(x)> c х[a;b].

2. Пусть fС[a;b] иm(x) =, . Показать, чтоm,MС[a;b].

3. Пусть f,gС[a;b] и. Показать, чтох₀[a;b]:.

4. Показать, что если f,gС[a;b] иf(a) <g(a),f(b) >g(b), тос[a;b]:f(c) =g(c).

5. Пусть f,gС[a;b] и= [a;b]. Доказать, чтос[a;b]:f(c) =g(c). В частности, еслиfС[0; 1] и, тох[0; 1]:f(x) =x.

6. Верно ли утверждение предыдущей задачи на промежутке другого вида?

7. Покажите, что многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественны корень.

8. Постройте монотонную функцию со счетным числом точек разрыва.

9. Пусть X, Y R, функцииfиf^-1взаимно обратные () иfнепрерывна в точкех₀Х. Будет ли функцияf^-1непрерывной в точкеy₀=f(x₀)Y?

10. Положим (гиперболический синус),(гиперболический косинус),(гиперболический тангенс),(гиперболический котангенс). Обосновать их непрерывность и проверить следующие свойства: а), б), в).

11. Докажите, что существует единственная функция с D_f=R, удовлетворяющая условиям: а)f(1) =a,a> 0,a1, б)f(x₁)f(x₂) =f(x₁x₂)x₁,x₂R, в)f– непрерывна наR.

12. Доказать, что единственная непрерывная на Rфункцияf, удовлетворяющая условиюf(x + y) =f(x) +f(y)x,yR, есть линейная функцияf(x) =ax, гдеa=f(1) – произвольная константа.

13. Пусть функция fудовлетворяет условиям: а)fопределена и непрерывна приx > 0, б)f(x)0, в)f(xy) =f(x)f(y)x,y> 0. Определить функциюf.

14. Пусть . Показать, что если функцияfнепрерывна наRи, тоf(x) =ax +b, гдеa иb– постоянные.