Глава IV. Непрерывность функции. § 1. Непрерывность функции в точке и точки разрыва функции.

Будем предполагать, что область определения D_fсодержит некоторую окрестностьО(х₀) точких₀.

Определение1. Функцияf называетсянепрерывной в точке х₀, если

. (1)

Вставка 1.

Расшифровывая определение предела функции в точке, получим следующие определения.

Определение 2 (по Гейне). Функцияfназываетсянепрерывной в точке х₀, если{x_n}D_f,, выполнено

. (2)

Вставка 2.

Вместо (2) можно написать

, (3)

т.е. для непрерывной в точке х₀функции символы предела (lim) и функции (f) можно менять местами.

Определение3 (по Коши). Функцияfназываетсянепрерывной в точке х₀, если> 0=() > 0:xO(x₀)O_(x₀)|f(x) –f(x₀)| <.

Вставка 3.

Пусть х=х-х₀(приращение аргумента в точке х₀),y=f(x) –f(x₀) =f(х₀+х) -f(x₀) (приращение функции в точке х₀).

Определение4. Функцияf называетсянепрерывной в точке х₀, если

. (4)

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что б/мприращению аргумента соответствуетб/мприращение функции.

Вставка 4.

Определение5. Функцияfназываетсянепрерывной слева (справа)в точке х₀, если.

Вставка 5.

Ясно, что функция fбудет непрерывной в точкех₀, если она непрерывна в ней справа и слева (см. теорему о связи между односторонними пределами и пределом функции в точке).

Из определения непрерывности функции в точке и из леммы о локальном сохранении знака функции, имеющей предел (§3, гл.III), получим утверждение.

Теорема 1 (о сохранении знака непрерывной в точке функции). Пусть функцииf непрерывны в точкех₀ иf(x₀)0. ТогдаО_(x₀):хО_(x₀)D_f sgnf(x) =sgnf(x₀).

Аналогично, из теоремы 3 (§3, гл.III) получим утверждение.

Теорема2 (об ограниченности непрерывной в точке функции). Если функцииfнепрерывны в точкех₀, тоО_(x₀) такая, что функция будет ограничена на множествеО_(x₀)D_f.

Теорема3 (арифметические свойства непрерывных в точке функций). Пусть функцииf иgнепрерывны в точкех₀иС– постоянная Тогда. функцииCf,f + g,fgи(еслиg(x₀)0) непрерывны в точкех₀.

Доказательствонепосредственно следует из определения непрерывности и арифметических свойств пределов функций. Докажем, например, непрерывность функцииfg. Согласно теореме о пределе произведения имеем (пределыисуществуют в силу непрерывности функцийfиgв точкех₀и равны соответственноf(x₀) иg(x₀))

,

что и означает непрерывность функции fgв точкех₀.

Вставка 6.

Теорема4 (о непрерывности сложной функции). Пусть функцияy=(x) непрерывна в точкех₀, а функцияf(y) непрерывна в точкеy₀=(х₀), причем. Тогда сложная функцияf[(x)] непрерывна в точкех₀.

Доказательство. Пусть> 0 – произвольно. В силу непрерывности функцииfв точкеy₀=() > 0:yD_fO_(y₀)|f(y) –f(y₀)| <.

Далее, для полученного > 0 в силу непрерывности функциив точкех₀=() =() > 0:хD_O_( х₀)|(x) -(х₀)| <, т.е.y=(x)O_(y₀).

Таким образом, если хD_O_( х₀), то |f(y) –f(y₀)| = |f((x)) –f((х₀))| <. Это и означает непрерывность сложной функцииf()в точкех₀.

Вставка 7.

Определение6. Точках=х₀называется точкой разрыва функцииf,если либо функцияfопределена только в, либо определена вО(х₀), но не является непрерывной в точкех₀.

Если х₀ - точка разрыва функцииfи существуют конечныеf(х₀), то такая точка называется точкой разрыва первого рода, а величина=f(х₀+) -f(х₀-) – скачком функцииfв точке х₀. Если, кроме того,= 0, тох₀называется точкой устранимого разрыва.

Все остальные точки разрыва функции называются точками разрыва второго рода. Если хотя бы один из пределов f(х₀) равен, то разрывы называется бесконечным.

Вставка 8.

Вопросы и упражнения.

1. Сформулировать определение непрерывности функции в точке слева и справа по Гейне и по Коши.

2. Пусть функции fиg- разрывны в точкех₀. Что можно сказать о функцияхfg,f + g иCf, гдеС– константа?

3. Пусть функция fнепрерывна в точкех₀, а функцияgразрывна в точкех₀. Что можно сказать о функцияхfg,f + g?

4. Показать, что функция непрерывна в точкех= 0, а в остальных точках терпит разрыв второго рода. (Л., 149)

5. Докажите непрерывность sinx в произвольной точке.

6. Сформулируйте на языке «-» в положительном смысле утверждение: функцияf, определенная вО(х₀), не является непрерывной в точкех₀.

7. Пусть для некоторых чисел > 0 можно найти=() > 0 такие, что. Можно ли утверждать, что функцияfнепрерывна в точкех₀, если:а)множество {} – конечное;б)множество {}- счетное;в)?

8. Пусть > 0=() > 0:. Следует ли отсюда, что функцияfнепрерывна в точке х₀? Если нет, то какое свойство функцииfописывается данным условием?

9. При каком выборе числа афункциябудет непрерывной в точкех= 0?

10. Доопределить функцию в точкех= 0 так, чтобы она была непрерывной в этой точке.

11. Исследовать на непрерывность функции и, если.