§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение1. Пусть функциядифференцируема в каждой точке интервала. Тогда на этом интервале определена новая функция, которая в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке. Числоназываетсявторой производной, или производной второго порядка функциив точкеи обозначается символами,,.

По индукции вводится понятие производной n-го порядка по формуле, если нужные производные существуют.

Определение 2. Функцию, имеющую на интервалеконечную производнуюn-го порядка, называютn раз дифференцируемой на. Если, кроме того, все производные доn-го порядка включительно непрерывны, то функция называетсяnраз непрерывно-дифференцируемой.

Вставка 1.

Теорема.Пусть функцииfиgимеют производныеn– го порядка в точкех₀. Тогда функцииf +gиfg также имеют производныеn– го порядка в точкех₀, причем

;.

(Вторая формула называется формулой Лейбница).

Доказательство проведем по индукции. Дляn= 1, т.е. для производных 1 – го порядка эти формулы были получены ранее. Предположим, что они верны дляn=k. Докажем их справедливость дляn=k+ 1.

В случае суммы имеем

.

В случае произведения функций имеем

.

Изменим индекс суммирования во второй сумме, положим i=p– 1, тогдарбудет меняться от 1 доk. После этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. Обозначая общий индекс суммирования черезр, будем иметь

+.

Отсюда, т.к. (гл.I,§6), получим

, ч. и т. д.

Вставка 2.

Для удобства дальнейших рассуждений дифференциал будем обозначать двумя буквами и.

Пусть функция дифференцируема на интервале. Ее дифференциалесть функция двух переменных:и. Пусть функцияв свою очередь дифференцируема в точке. Тогда дифференциал функцииdf(x) прификсированномимеет вид

.

Определение3. Значение дифференциалав точкеприназываетсявторым дифференциаломфункциив точкеи обозначается символом.

Таким образом, =. По индукции можно определить дифференциалn-го порядка (если он существует), причем.

Вставка 3.

Вопросы и упражнения

1.Пусть функциядифференцируема на интервале. Почемуявляется функцией, определенной на этом интервале?

2.Пусть- закон движения точки, где- пройденный путь за время. Дать обоснованное физическое толкование

3.Найти,,,

4.Обосновать формулу.

62