- •Глава V. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. § 1. Производная и дифференциал
- •Вопросы и упражнения
- •§ 2. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала
- •§ 3. Дифференцирование суммы, произведения, частного
- •§ 4. Дифференцирование обратной и сложной функций
- •§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
Глава V. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. § 1. Производная и дифференциал
Определение 1. Пусть функцияfопределена в окрестности.Производнойфункцииf в точкеназываетсяконечныйпредел
,, (1)
если он существует. Операция нахождения производной функции называется операцией дифференцирования.
Производную будем обозначать символами: .
Заметим, что формулу (1) можно переписать в виде
.
Вставка 1.
Определение 2. Еслито будем говорить, что в точкесуществует бесконечная производная функции, равная соответственно
Определение3. Числаназываютсяодносторонними производными.
Вставка 2.
Определение 4. Функция, определенная в, называетсядифференцируемойв точке, если
, (2)
где - некоторая константа, не зависящая от, а зависящая только от точки; линейная функцияназываетсядифференциаломфункциив точкеи обозначается символами.
Таким образом, для дифференцируемой в точке х0функции имеем
. (3)
Если , то, с одной стороны,с другой,. Поэтому для независимой переменнойи в дальнейшем чаще будем писать
Вставка 3.
Отметим,что если переписать (2) следующим образом, то легко видеть, что дифференцируемая в точкефункция с точностью доб/мболее высокого порядка, чем, равна линейной функции в. На этой основе строятся приближенные вычисления:.
Теорема 1 (связь между производной и дифференциалом). Для того, чтобы функциябыла дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная, при этом
Доказательство. 1) Пусть функциядифференцируема в точке, тогдаи. ПоэтомуиОтсюда.
Пусть . Тогда по лемме (гл.III, § 4 ), где-б/мпри. Отсюда получим.А это и означает, что функциядифференцируема в точке, причем
Последняя формула оправдывает обозначение .
Вставка 4.
Теорема2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функциядифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из условия теоремы имеем. Поэтому
что и означает непрерывность функциив точке.
Вопросы и упражнения
1. Показать:
2. Обосновать единственность
3. Для какихимеют смысл функциии
4. Показать, что прив (3)~при
5. Пусть функциянепрерывна (разрывна) точке. Будет ли она дифференцируема в этой точке?
6. Показать, что из существованиявытекает непрерывность функции в точке.
7. Привести пример функцииf,для которой
§ 2. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала
Пусть функция определена в интервале (a, b) и дифференцируема в точке. Пусть,,,,.
П
Рис. 1
.
Здесь
. (1)
Так как функция непрерывна в точке, тои, следовательно,
О
Рис. 2
По-другому, предельное положение секущей приназываетсякасательнойк графику функциив точке.
Теорема(о касательной). Пусть функциянепрерывна в точке. В точкесуществует наклонная касательная тогда и только тогда, когда функциядифференцируема в точке. При этом ее уравнение имеет вид
(2)
а значит, , где- угол наклона касательной к положительному направлению оси.
Доказательство. В силу (1) конечноесуществует тогда и только тогда, когда существует конечный предел, причем. Отсюда и следует, что касательная в точкесуществует и ее уравнение имеет вид (2). Из курса аналитической геометрии. Поэтому
Следствие.равен приращению ординаты касательной в точке.
Действительно, первое слагаемое в (2) есть.
Вставка 1.
П
Рис. 3
Тогда - средняя скорость движения на участке, а=естьвеличинаскорости движения в точке-мгновенная скоростьв точке.
Таким образом, . Отсюда- расстояние, которое прошла бы точка за промежуток времени, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости в точке.
Если - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за время, тоесть сила тока в момент, а- количество электричества за времяпри постоянной силе токаI.
Вопросы и упражнения
1. Показать, что график функцииимеет вертикальную касательную в точкетогда и только тогда, когда
2.Нормалью к графику функциив точкеназывается прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной в ней. Вывести условия существования нормали и ее уравнение.
3.Углом между кривымиив их точке пересечения называется угол между касательными в этой точке. Вывести формулу для нахождения этого угла.
4. Пусть дан неоднородный стержень (т.е. два любых его участка одинаковой длины могут иметь разную массу) длиныи пусть- масса части стержня длины,, отмеряемой от фиксированного конца. Дать физическое толкование величине.