Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

дифференциальное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

820.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

									41
P (x) c		x x n c		x x	n 1 c	x x	n 2 ... c x x c ,
n	n	0	n 1	0	n 2	0	1	0	0
					cn 0 ,				(33.1)
Найдем	коэффициенты		ck .	Для	этого продифференцируем			обе	части равенства

(33.1) раз.

k 1

Pn (x) k ck x x0

k 1

k 2

Pn (x) k (k 1) ck x x0

(33.2)

k 2

...

(n)

(x)

n (n 1) (n 2)...2 1 cn

Подставляя x x0 в (33.1) и (33.2), получаем

P (x ) c

n 0

Pn (x0 ) c1

Pn (x0 ) 2 c2

...

(n) (x ) n! c

Таким образом,

P(k )

(x ) , k 0, n .

(33.3)

Подставляя (33.3) в (33.1), получаем

(k )

(x0 )

Pn (x)

P n

(x x0 )k .

(33.4)

k 0

Формула (33.4) называется формулой Тейлора для многочленов.

Пример. Разложить многочлен P (x) 3 x2 5x 8

по степеням (x 1) .

P2 (1) 0, P2 (x) 6 x 5,

P2 (1) 11,

P2 (x) 6,

P2 (1) 6.

f(x) 0 11(x 1) 62 (x 1)2 11(x 1) 3(x 1)2 .

33.2.Формула Тейлора для функции одного переменного

Пусть

дана функция

которая

раз дифференцируема в интервале

Составим многочлен n -ой степени

(k )

(x0 )

Qn (x)

(x x0 )k .

(33.5)

k 0

По формуле (33.3) c

f (k ) (x )

Q(k ) (x ) , т.е.

Q(k )

(x ) f

(k ) (x ) k 0, n .

(33.6)

Таким образом, в точке

многочлен Qn (x)

и функция f (x)

имеют одинаковые

значения, производные k -го порядка многочлена и функции в точке

также совпадают.

В точках, отличных от , такое равенство может не выполняться. Обозначим

Rn 1 (x) f (x) Qn (x) .

Отсюда и из (33.5) получаем формулу

(k )

(x0 )

f (x)

(x x0 )k Rn 1 (x) .

(33.7)

k 0

Формула (33.7) называется формулой Тейлора. Функция Rn 1 (x) называется остат-

ком (остаточным членом).

Про функцию говорят, что она разложена по степеням

(x x0 ) , или, что она разложена по формуле Тейлора в окрестности точки .

При x0 0 из формулы Тейлора (33.7) получаем формулу

(k )

(0)

f (x)

xk Rn 1 (x) ,

(33.8)

k 0

которую называют формулой Маклорена.

Теорема (формула Тейлора с остатком в форме Пеано). Если функция

диффе-

ренцируема n раз в точке x0 , то в некоторой окрестности этой точки верна формула

(k )

(x0 )

(x x0 )k o (x x0 )n ,

f (x)

x x0 .

(33.9)

k 0

Формула (33.9) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство. Пусть функция

дифференцируема n раз в точке x0 .

(33.7)

(k )

(x0 )

Rn 1 (x)

f (x)

(x x0 )k f (x) Qn (x) ,

k 0

R(k ) (x) f (k ) (x) Q(k )

(x) .

n 1

Тогда с учетом (33.6) получаем:

Rn 1 (x0 ) 0 ,

R(k )

(x ) f (k ) (x ) Q(k )

(x ) 0

k 1, n .

n 1

Применяя правило Лопиталя, получим:

lim

R (x)

lim

R (x)

n 1

lim

n 1

...

x x0

(x x0 )n

x x0

n (x x0 )n 1

x x0

n (n 1)(x x0 )n 2

lim

Rn(n1) (x)

Rn(n1) (x0 )

n(n 1)(n 2)...2 1

x x0

Представление (33.9) единственно.

Теорема (формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа). Если функция диф-

ференцируема n раз в точке x0

и имеет в некоторой окрестности этой точки производную

f (n 1) , то верна формула

(k )

(x0 )

(n 1)

( )

f (x)

(x x0 )k

(x x0 )n 1 ,

(33.10)

k 0

(n 1)!

где x0

(x x0 ),

0 1.

Формула (33.10) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Ла-

гранжа.

Пример. Разложить функцию f (x) e3x 1

по формуле Тейлора в окрестности точки

x 3.

								43
► x 1,	f (1) e4 ,		f (x) 3e3 x 1,			f (1) 3e4 ,	f (x) 9e3 x 1,	f (1) 9e4 , …,
0
f (k ) (x) 3k e3 x 1,		f (k ) (1) 3k e4 . Применяя формулу (33.7), получаем
			n	k	4
			f (x)	3 e		(x 1)k Rn 1 (x) ◄
			f (x)	k!		(x 1)k Rn 1 (x) ◄
			k 0	k!
			k 0

33.3.Разложение по формуле Маклорена некоторых функций

Rn 1(x) 1 x

...

Rn 1(x) .

k 0

( 1)

sin x

x2 k 1 R2 n 3 (x)

k 0

(2 k 1)!

( 1)n

x2 n 1 R

...

(x) .

(2 n 1)!

2 n 3

( 1)

cos x

x2 k R2 n 2

(x) 1

...

(2k)!

(2n)!

k 0

( 1)

k 1

( 1)

n 1

ln(1 x)

xk Rn 1(x) x

...

k 0

m(m 1)(m 2)...(m k 1)

(1 x)m 1

Rn 1(x)

k 1

x2 n R2 n 2 (x) .

xn Rn 1(x) .

m(m 1)

...

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

xn R

(x) .

n 1

( 1)k xk

Rn 1(x) 1 x x2 x3

... ( 1)n xn Rn 1(x) .

1 x

2 k 1

2 n 1

arctg x ( 1)k

R2 n 2 (x) x

... ( 1)n

R2 n 2 (x) .

2 k 1

2 n 1

k 0

33.4. Приближенное вычисление функций с помощью формулы Тейлора

Рассмотрим на примере. Вычислим

с точностью

( 1)

sin 0,1

(0,1)2 k 1 R2 n 3 (0,1) .

(2 k

k 0

1)!

Найдем, сколько слагаемых достаточно взять, чтобы

R2 n 3 (0,1)

Возьмем остаточный член в форме Лагранжа:

где

. Тогда

Поскольку производные

функции

равны либо

либо

то

и, следовательно,

Найдем, при каких

будет выполнено неравенство

или неравенство

(33.11)

				44
При	из (33.11) получаем:		или	. Неравенство выполнено. Тогда

		. Таким образом,		с точностью 0,001◄

34.Исследование функций и построение графиков

34.1.Монотонность функций

Теорема (об условиях монотонности). Пусть						,	непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале				. Тогда
1.				на	.
2.			возрастает на			.
3.			убывает на			.
4.			не убывает на			.
5.			не возрастает на			.
Доказательство
1. Необход имость . Пусть					.	Возьмем	произвольную	точку
	и рассмотрим	. По теореме Лагранжа (п. 31)
	. Следовательно,					.
Достаточность . Пусть				на	. Тогда		.
2. Пусть		. Рассмотрим произвольный отрезок						. По
теореме Лагранжа							. Поскольку	,
то	. Следовательно,			возрастает.

3.Доказывается аналогично 2.

4.Необход имость . Доказывается аналогично 2.

Достаточность . Пусть	не убывает на		. Тогда		:
будет выполнено	.	Следовательно,	f (x ) lim		f (x2 ) f (x1 )	0 .
будет выполнено	.	Следовательно,	f (x ) lim			0 .
			1	x2 x1	x2 x1
					x2 x1

Так как - произвольное число из		, то		.

5.Доказывается аналогично 4

34.2. Необходимое и достаточные условия существования экстремума
Теорема 1 (необходимое условие). Если			- точка локального экстремума
функции	, то либо	, либо производная функции в точке			не суще-
ствует.
Доказательство. Если		дифференцируема в	, то по лемме Ферма

Например, функция		не имеет производную в точке		, но	- точка
локального минимума функции.

Определение. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых производная функции не существует, называются критическими (или подозрительными на экстремум).

Теорема 2 (достаточное условие 1). Пусть		- дифференцируема в	,
за исключением может быть точки	. Пусть	- точка, подозрительная на экс-
тремум. Тогда

							45
	1.	Если	меняет знак при переходе через точку			с «-» на «+», то	- точка
		локального максимума.
	2.	Если	меняет знак при переходе через точку			с «+» на «-», то	- точка
		локального минимума.
	3.	Если	не меняет знак при переходе через точку			, то в этой точке экстре-
		мума не существует.
	Теорема 3 (достаточное условие 2). Пусть				- дважды дифференцируема
в	,		- точка, подозрительная на экстремум, и			. Тогда
	1.	Если	, то	- точка локального минимума.
	2.	Если	, то	- точка локального максимума.

Доказательство. Докажем утверждение 1. Пусть

- точка, подозрительная на экс-

тремум. Так как функция дифференцируема в

, то по лемме Ферма

. По

формуле Тейлора (33.10) с остаточным членом в форме Лагранжа получаем

f (x) f (x ) f (x

)(x x

)

f ( )

(x x )2

f (x

)

f ( )

(x x

где x

(x x ),

0 1. Тогда

f (x) f (x )

( )

(x x )2

. Таким образом раз-

ность, f (x) f (x0 ) имеет тот же знак,

что и вторая производная f ( ) . При значениях ,

достаточно близких к

, разность

имеет тот же знак, что и

. Пусть

. Тогда

. При

функция убывает. При

функция воз-

растает

34.3.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба


Определение. Функция		называется выпуклой вверх (вниз)
на интервале	, если каждая дуга графика этой функции лежит
выше (ниже) стягивающей ее хорды.
На рис. 34.1 изображена выпуклая вверх функция.
Точка	называется точкой перегиба кривой

, если при переходе через эту точку кривая меняет направление выпуклости.

Рис. 34.1

Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости). Пусть								,
	и	дважды дифференцируема в			. Для того чтобы функция			была
выпукла вверх (вниз) на			, необходимо и достаточно, чтобы
	.
Теорема (о точке перегиба). Пусть					,	и	дважды диффе-
ренцируема в		.
1)	Если	- точка перегиба кривой			, то	.
2)	Если		и	меняет знак при переходе через точку				, то -
	точка перегиба кривой			.

Замечание. Вторая производная может в точке перегиба не существовать, но функция в точке перегиба должна быть определена.

34.4.Асимптоты

Определение. Прямая			называется асимпто-			M
					y	M
той кривой		, если расстояние от точки , при-			y	f (x)
надлежащей этой кривой, до прямой				стремится к ну-
лю при стремлении точки в бесконечность (рис. 34.2).
Различают вертикальные, горизонтальные и на-					(l)
Различают вертикальные, горизонтальные и на-
клонные асимптоты.						Рис. 34.2
Уравнение наклонной асимптоты:
				,		(34.1)
где k lim	f (x)	, b lim f (x) k x .
где k lim	x	, b lim f (x) k x .
x	x	x
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной. Ее уравнение по-
лучаем по формуле (34.1) при			.
Если	lim	f (x) или	lim	f (x) , то кривая		имеет вертикальную
	x x0 0		x x0 0

асимптоту . Кривая имеет вертикальные асимптоты, например, в точках бесконечного разрыва функции.

Пример. Найти асимптоты кривой

x3 4

, если они есть.

lim

x3 4

. Следовательно,

x 0 - вертикальная асимптота.

x 0 0

(34.1)

lim

1, b

lim

0 .

x x

Таким образом, кривая имеет наклонную асимптоту: y x ◄

34.5.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . По теореме Вейерштрасса (п. 19) существуют наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке. Функция может достигать наибольшего и наименьшего значений внутри отрезка или на

его концах. Если функция достигает наибольшего значения					внутри отрезка		, то -
локальный максимум. Если функция достигает наименьшего значения						внутри отрезка
, то - локальный минимум. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего
значения нужно
1)	найти точки , ,…, «подозрительные» на экстремум;
2)	найти значения функции в этих точках:			,	,…; найти значения функции
	на концах отрезка:	,	;
3)	сравнив полученные значения, найти наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции							на
.
1)	y 2 x , следовательно,	x 0 - точка, «подозрительная» на экстремум,					f (0) 4 .

2) f ( 1) 3, f (2) 0 .

◄

34.6.Общая схема исследования функции и построения графиков

1. Область определения функции

2.Четность и периодичность.

3.Непрерывность. Вертикальные асимптоты.

4.Наклонные асимптоты.

5.Точки пересечения с осями координат.

6.Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.

7.Направление выпуклости и точки перегиба.

8.Итоговая таблица.

	f (x)	x3
Пример.			.
		(x 2)2

1.Область определения функции: Df x R : x 2 .

2.Исследуем функцию на четность и периодичность.

	f ( x)	x3
Так как				,	то функция не является ни четной, ни нечетной.
		( x 2)2
	(x T )3				T 0 . Следовательно, функция не является перио-
f (x T )			f (x)
	(x T 2)2

дичной.

3.Исследуем функцию на непрерывность. Найдем вертикальные асимптоты, если они есть.

Функции f (x) x3	и	f	2	(x) (x 2)2	непрерывны при любом	x . Так как
1			2
f (2 0) , то в точке		x 2 функция терпит бесконечный разрыв. Вертикальная

асимптота: x 2 .

4.Найдем наклонные асимптоты.

k lim	x2		1,	b lim	4 x2	4	4	. Следовательно,	y x 4 - наклонная асим-

x (x 2)		2		x (x 2)2

птота.

5.Точки пересечения функции с осями координат: (0, 0) .

6.Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы функции, если они существуют.

x2 (x 6)					x
y (x 2)3 .		0 2	6		x
y (x 2)3 .		0 2	6
Критические точки: x 0, x 6, x 2 .
Функция возрастает на интервалах ( , 2),	(6, ) ,	убывает на интервале		(2, 6) .
Следовательно, x 6 - точка локального минимума.			.

6.Определим направление выпуклости графика и найдем точки перегиба, если они есть.

y	24 x
y	(x 2)4 .	0 2	x
На интервале ( , 0) функция выпукла вверх, на

интервалах (0, 2), (2, ) выпукла вниз. Следовательно, точка x 0 является точкой перегиба функции.

7.Составим итоговую таблицу.

0		-
+	+		+
	+	+	+
точка			точка
перегиба

8.Сделаем чертеж

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.11.2018133.21 Кб14диплом_2.docx 88.docx
#
08.09.2019506.88 Кб17Дипломная работа Быковой Ирины.doc
#
20.07.2019206.34 Кб7Директивы препроцессора.doc
#
04.08.201997.79 Кб5ДИСПАНСЕРИЗАЦИЯ ДЕТЕЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛИКЛИНИКИ.doc
#
22.03.201551.71 Кб14ДиффДиагнАлалии2.doc
#
22.03.2015820.7 Кб11дифференциальное исчисление.pdf
#
22.03.2015165.89 Кб21Дифференциальные уравнения.doc
#
22.03.201514.38 Кб22для халявщиков.docx
#
24.09.2019559.62 Кб5для чтения(вопросы).doc
#
30.08.201949.15 Кб0для чтния по энерг.doc
#
30.04.2015206.34 Кб9Дневник практики(производственная).doc