дифференциальное исчисление

Определение. Пусть

,

,

- предельная точка множества .

Если существует конечный предел

lim

f (x0 )

A ,

(20.1)

x 0

x

то его называют производной функции

в точке

и обозначают

,

,

.

Пример. Найти производную функции

с помощью определения произ-

водной.

f (x )

lim

f (x x) f (x )

lim

ex0

x ex0

lim

0

0

0

x

x

x

x 0

x 0

x 0

x

e x

1

x

x

x

e 0 lim

e

0

lim

e 0 .

x

x

x

x 0

x 0

Таким образом, e

x

►

e

Определение. Функция

называется дифференцируемой в точке

, если ее при-

ращение в этой точке представимо в виде

,

,

(20.3)

где

,

.

Определение. Если функция дифференцируема в точке

, то выражение

называется дифференциалом функции

в точке

и обозначается

:

.

(20.4)

Для независимой переменной положим по определению

. Тогда (20.4) мож-

но записать в виде

.

(20.5)

Определение. Функция

называется дифференцируемой на множестве , если

она дифференцируема в каждой точке этого множества.

lim u lim (x0 ) 0 (п. 16). Тогда

x 0

x 0

lim f (x0 ) lim f (u0 )

z (x ) lim z(x0 )

0

x 0

x

x 0

x

x 0

x

lim

f (u0 )

u

lim

f (u0 ) (x0 )

lim

f (u0 )

lim

(x0 )

f (u

) (x )

u

x

u 0

u

x 0

x

0

0

x 0

x

x 0 u

Инвариантность формы дифференциала

Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда функция

дифференци-

руема в точке

и

(24.1)

dz(x0 ) z (x0 ) dx

f (u0 ) (x0 ) dx f (u0 ) d (x0 ) f (u0 ) du .

(24.2)

d ( x0 )

du

ную в точке . Тогда обратная функция

имеет производную в точке

,

причем

1

f 1 ( y0 )

.

(24.3)

f (x0 )

Доказательство. По теореме об обратной функции из п. 19 функция

имеет об-

ратную функцию

, также непрерывную и строго монотонную в некоторой ок-

x

1

1

1

f 1

( y0 ) lim

lim

y

y

y

f

(x )

y 0

x 0

lim

0

x

x 0 x

Примеры

1.

Найти производную

. По теореме 2 получаем: y

1

1

1

1

.

e

y

e

e

x

y

ln x

2.

sin(3x

2

2

2) по теореме 1.

2) 6 x cos(3x

7

3

log

2

(7 x)

3.

log34 (7 x) 3log42 (7 x)

4

◄

ln 4

x

7 x ln 4

Пусть функция

дифференцируема в точке

. Обозначим:

,

(рис. 27.1). Придадим точке x0 приращение x . Функция f (x)

при этом получит при-

ращение y .

Пусть M x0 x, y0 y .

Проведем

секущую M 0 M кривой y f (x) .

Обозначим угол между секущей M 0 M и осью Ox через . Тогда

.

Определение. Касательной к кривой

в точке

называется предельное

положение секущей M 0 M при M M0 , если оно существует.

Так как

дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке и по опреде-

лению

lim y 0 . Следовательно, M0 M

x2

y2

0 при x 0 , то есть M M0 .

x 0

Тогда

f (x ) lim y

lim tg tg ,

где

-

угол между

касательной к кривой

0

x 0 x

M M0

Пусть

- закон движения материальной точки. Тогда величина мгновенной

скорости в момент времени равна

.

Расстояние,

которое прошла бы

материальная точка за время

со скоростью

, равно

.

Если функция дифференцируема в точке

x0 , то

при

. По определению дифференциала

. По теореме 1 из п. 21

.

Пусть

. Тогда

и

Определение. Пусть

. Точка

называется точкой локального

минимума (максимума) функции

, если

.

(31.1)

y

Точки локального минимума (

) и локального

максимума (

)

называются точками

локального

экстремума (

).

Значение

функции

в точке ло-

a

x2

x

кального минимума (максимума) называется локальным ми-

нимумом (локальным максимумом) функции.

x1

x3

b

Если в (31.1) выполняются строгие неравенства, то x0

называется точкой строгого локального минимума (макси-

Рис. 31.1

мума).

Замечание. Функция может иметь локальный экстремум только во внутренних точ-

ках отрезка [a,b] .

На рис. 31.1 показана функция, которая имеет два локальных максимума в точках x1

и x3 и один локальный минимум в точке x2 .

Лемма Ферма. Пусть

,

. Пусть функция

дифференцируема

в точке

. Если - точка локального экстремума, то

f (x0 ) 0 .

Доказательство. Пусть

- точка локального максимума, т.е.

U (x0 ) [a,b] :

f (x) f (x0 )

x U (x0 ) .

Следовательно,

f (x0 ) f (x) f (x0 ) 0

x U (x0 ) .

Если

x x , то x x x 0

и

f (x

)

lim

f (x0 ) 0 .

Если x x ,

то

x x x

0 и

0

0

0

x 0 0

x

0

0

f (x )

lim

f (x0 ) 0 . По лемме об односторонних производных производная в точке

0

x 0 0

x

. Следовательно, f (x0 ) 0

x0

существует тогда и только тогда, когда

Геометрический смысл леммы Ферма.

Если

- точка локального экстремума и

функция

дифференцируема в точке

, то касательная к графику функции в этой точке

параллельна оси Ox .

39

Теорема Ролля. Пусть

,

- непрерывна на отрезке

, дифферен-

цируема в интервале

и

. Тогда

.

2)

,

(рис. 31.3). Здесь наименьшее значе-

Рис. 31.2

ние функции достигается внутри отрезка

. Это значит, что

функция имеет локальный минимум в некоторой точке

. По лемме Ферма в этой

точке производная равна нулю.

Теорема Лагранжа.

Пусть

,

- непрерывна на отрезке

и диф-

ференцируема в интервале

. Тогда

.

Доказательство. Обозначим

и

введем вспомогательную

функцию

. Функция

непрерывна на отрезке

, дифференци-

руема в интервале

и

.

По теореме Ролля

.

Следовательно,

,

y

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Если

функция

удовлетворяет условиям теоремы, то в интер-

B

вале

существует хотя бы одна точка, в которой каса-

тельная к графику функции в этой точке параллельна секу-

щей

(рис. 31.4).

A

x

a

b

Теорема Коши. Пусть

;

,

- не-

прерывны на отрезке

и дифференцируемы в интервале

Рис. 31.4

,

причем

. Тогда

.

Доказательство. Проводится с помощью вспомогательной функции

, где

, и теоремы Ролля