5.7.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y p y q y f (x)

(5.54)

и соответствующее ему однородное уравнение

y p y q y 0 ,

(5.55)

где p, q - некоторые постоянные.

По теореме об общем решении ЛОДУ из п. 5.7.1

,

(5.56)

где

,

– фундаментальная система решений уравнения (5.55); ,

– произ-

вольные постоянные.

Будем искать частные решения в виде

y ek x , k const .

(5.57)

Подставляя (5.57) в (5.55), получаем

ek x k 2 p k q 0.

Следовательно,

k 2 p k q 0 .

(5.58)

1) Корни вещественные и различные:

k k

2

. В этом случае y ek1 x ,

y

2

ek2 x .

1

1

Найдем вронскиан: W (x)

ek1 x

ek2 x

(k

k ) e(k2 k2 ) x 0 . По теореме о вронскиане

2

k ek1 x

k

ek2 x

1

2

1

из п. 5.7.1 функции y ek1 x и y

2

ek2 x образуют фундаментальную систему решений

1

уравнения (5.55). По формуле (5.56) получаем:

y

о о

C ek1 x C

ek2 x .

1

2

2) Корни вещественные и равные: k1 k2 .

В данном случае

и

совпадают. Это означает, что они не образуют фундаментальную систему решений.

Возьмем первую функцию y ek1 x

, а вторую будем искать в виде y

2

(x) ek1 x

, где (x) -

1

неизвестная функция, подлежащая определению. Подставляя

y2 в уравнение (5.55), полу-

чаем

(x) p ek1 x (x) k (x) q ek1 x (x) 0.

ek1 x (x) 2 k (x) k 2

1

1

2 k1

1

2

(x) (x)

p (x) k1 p k1 q 0 .

Так как k1 k2 ,

то дискриминант

характеристического

уравнения (5.58) D 0 и

k1 p / 2 . Тогда

получаем, что (x) 0 . Следовательно,

(x) A x B . Возьмем

W (x)

ek1 x

x ek1 x

(1 k x k x) e2 k1 x e2 k1 x 0 x .

k ek1 x

(1 k x) ek1 x

1

1

1

1

Следовательно,

y ek1 x

и

y

2

x ek1 x

образуют фундаментальную систему решений и по

1

(5.56)

52

y

oo

C ek1 x C

2

x ek1 x .

1

3)

Корни комплексные.

Пусть характеристическое

уравнение

(5.58) имеет

два

комплексно-сопряженных

корня:

k

i

и

k

2

i .

Тогда

y

e( i) x

и

1

1

y

2

e( - i) x . По формуле

Эйлера

y

e x cos x i sin x ,

y

2

e x

cos x i sin x .

1

Очевидно, что если y u vi - решение однородного уравнения (5.55),

то u и v - также

~

e

x

cos x

~

e

x

sin

x .

будут решениями этого уравнения. Поэтому можно взять y1

и y2

Они образуют фундаментальную систему решений. Тогда по (5.56)

y

o o

e x C cos x C

2

sin x .

1

~

e

x

cos x

~

e

x

sin x образуют фунда-

Задание. Убедиться, что функции y1

и y2

ментальную систему.

,

– корни характеристического

Вид общего решения

уравнения

однородного уравнения

1

k1 k2

yо о C1ek1 x C2ek2 x

2

k1 k2

yoo C1 ek1 x C2 x ek1 x

3

k1 i , k2

i

yo o e x C1 cos x C2 sin x

Примеры

y

.

1) y y 2y 0 .

o o

C e 2 x

C

ex

1

2

x

C cos

x

y y 2y 0.

y

e

7

x C

7

.◄

2)

2

sin

o o

1

2

2

2

коэффициентов. Пусть k1 ,

k2 - корни характеристического уравнения:

.

Тогда в зависимости от правой части

неоднородного уравнения и корней харак-

теристического уравнения частное решение

неоднородного уравнения ищется в виде,

указанном в таблице.

Корни характери-

Вид уравнения

стического уравне-

Вид частного решения

ния

,

,

,