Парыгина СА_Математическая статистика-SPSS

4. В результирующей таблице приводятся сами значения выбранных коэффициентов корреляции, а также указывается их значимость.

Так как еще не все коэффициенты корреляции вычисляются на ЭВМ, в частности – с помощью пакета SPSS, и для лучшего понимания основ корреляционного анализа данных рассмотрим несколько примеров вычисления коэффициентов корреляции вручную.

Пример 1

Наблюдения за 9 подростками по переменным «Рост» (Х) и «Пол» (Y) приведены в табл. 3.1.

Определить, связаны ли линейной зависимостью переменные Х

иY.

Ре ш е н и е :

Так как переменная Х (рост) измерена в количественной шкале (шкала отношений), а переменная Y (пол) – в номинальнодихотомической шкале, то для определения линейной зависимости между данными переменными удобно использовать точечный бисериальный коэффициент корреляции rpb. Коэффициент rpb вычисляется по формуле

21

где x1 – среднее значение по переменной Х объектов, имеющих 1

по переменной Y;

x0 – среднее значение по переменной Х объектов, имеющих 0 по

переменной Y;

sX – исправленное среднеквадратическое отклонение всех значе-

ний переменной Х;

n1 – число объектов, имеющих 1 по переменной Y; n0 – число объектов, имеющих 0 по переменной Y; n – общий объем выборки, n = n1 + n0.

Проведем промежуточные вычисления.

n1 = 5, n0 = 4, n = 9.

22

Вычисление величин x1, x0 , sX удобно проводить на ЭВМ с ис-

пользованием соответствующих команд пакета SPSS.

Подставим найденные значения в формулу для коэффициента

rpb.

Таким образом, существует лишь слабая прямопропорциональная связь между ростом и полом у обследованных подростков.

Пример 2

12 учащихся ранжируются экспертом по их отношению к себе (переменная Х) и к другим учащимся (переменная Y). Исходные данные представлены в табл. 3.2.

Определить, связаны ли линейной зависимостью переменные Х и Y.

23

Р е ш е н и е :

Так как результатами измерения обеих переменных являются ранги соответствующих объектов, то измерения проведены в порядковой шкале. Значит, для измерения линейной связи между переменными Х и Y можно использовать как коэффициент корреляции Спирмена rs, так и коэффициент корреляции τ Кендалла.

а) Коэффициент корреляции Спирмена rs в случае различных рангов вычисляется по формуле:

6 n (xi yi )2

где xi, yi – ранги i-го объекта по переменным Х и Y; n – объем всей выборки.

Проведем промежуточные вычисления.

Таким образом, значение коэффициента корреляции Спирмена свидетельствует о сильной прямопропорциональной связи между переменными Х и Y.

б) Коэффициент корреляции τ Кендалла в случае различных рангов может быть вычислен по формуле:

где Р – это общее число совпадений, n – объем всей выборки. Составим вспомогательную табл. 3.3 для нахождения числа сов-

падений. В соответствии с правилом нахождения совпадений ранги по переменной Х в табл. 3.3 располагаются в порядке возрастания, а

24

номера объектов и ранги по переменной Y приписываются соответственно.

Сделаем подстановку в расчетную формулу

Таким образом, значение коэффициента корреляции Кендалла свидетельствует о слабой положительной связи между переменными Х и Y. Так как коэффициент корреляции τ Кендалла считается более точным, то можно сказать, что между переменными, соответствующими отношению учащихся к себе и к другим учащимся, наблюдается лишь слабая прямопропорциональная связь.

25

Практическая часть

Задание 1

Исследователь изучает связь между временем, которое тратят испытуемые на просмотр телевизора (в часах) (переменная Х) и количеством хронических заболеваний, диагностированных у них (переменная Y). Результаты 12 испытуемых представлены в табл. 1 Приложения 2. По экспериментальным данным:

1.Построить диаграмму рассеяния.

2.Вычислить коэффициент корреляции Пирсона с помощью пакета SPSS.

3.Сделать вывод относительно типа линейной связи между переменными X и Y и обосновать его.

Задание 2

Исследователь изучает связь успешности рыночной деятельности бизнес-элиты с их уровнем самооценки (в баллах). Показатель успешности бизнесменов определяется путем ранжирования их по среднему уровню доходов (переменная Х), показатель уровня самооценки определяется с помощью соответствующего тестирования (переменная Y). Результаты 8 учащихся представлены в табл. 2 Приложения 2, причем по переменной Х ранжирование уже произведено. По экспериментальным данным определить:

1.Ранговые значения переменной Y.

2.Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и τ Кендалла

–двумя способами: вручную и с помощью пакета SPSS.

3.Сделать вывод относительно типа линейной связи между переменными X и Y и обосновать его.

Задание 3

Определить меру связи между признаками Х и Y с помощью соответствующего коэффициента корреляции и обосновать свой выбор:

26

1.Признак Х характеризует семейное положение респондента (женат – 1; холост – 0), а признак Y характеризует образование респондента (высшее образование – 1; нет высшего образования – 0). Данные приведены в табл. 3 Приложения 2.

2.Признак Х характеризует избирательную активность испытуемого (голосовал на последних выборах – 1; не голосовал – 0); а признак Y характеризует время (в мин.), затрачиваемое респондентом на просмотр предвыборных передач. Данные приведены в табл. 4 Приложения 2.

27

Лабораторная работа 4

Реализация методов кластерного анализа с помощью электронного пакета SPSS

Теоретическая часть

Электронный пакет SPSS предоставляет широкие возможности для статистической обработки данных, в том числе он позволяет проводить классификацию объектов исследования на группы (классы), идентичные (или почти идентичные) в отношении рассматриваемых свойств.

Если «на входе» задачи классификации имеется лишь матрица «объект – свойство», каждая строка которой отражает значения измеренных у данного объекта свойств, и не имеется оснований для параметрического представления искомых классов, то такая классификация проводится методами кластерного анализа, а полученные классы объектов называют кластерами. Подобная ситуация часто встречается в социальных науках, поэтому для классификации объектов социологических, психологических, биологических и других исследований наиболее актуальными являются методы кластерного анализа.

В пакете SPSS реализованы 3 метода кластерного анализа: двухэтапный, метод k-средних и иерархический. Наиболее универсальным из них, применяемым к большим массивам данных и простым в интерпретации является метод k-средних. Рассмотрим особенности применения данного метода.

Выбрать тот или иной метод кластерного анализа пакета программ SPSS можно с помощью команд: Анализ → Классификация. Далее, в подменю команды Классификация необходимо:

1.Выбрать команду Кластеризация k-средними, которая реализует метод k-средних для заданного числа кластеров k.

2.Перенести все переменные, характеризующие свойства Х(1), Х(2), …, Х(р) матрицы «объект – свойство» Х в окно Переменные.

3.Указать в поле Метить наблюдения имя переменной, содержащей номера объектов классификации.

28

4.Задать в поле Число кластеров количество кластеров, на которое необходимо разбить исходное множество объектов. По умолчанию задается 2 кластера, сделать самостоятельную оценку числа кластеров можно с помощью разведочного анализа.

5.Кнопка Итерации позволяет увеличить максимальное число шагов алгоритма. Установленное по умолчанию количество итераций, равное 10, зачастую оказывается недостаточным.

6.Кнопка Сохранить позволяет указать для каждого объекта принадлежность в кластеру и расстояние до центра кластера, если установлен соответствующий указатель (галочка).

7.Кнопка Параметры позволяет вычислить дополнительные статистические величины, такие как начальные центры кластеров и другие, а также предоставляет возможность учесть пропущенные значения.

8.Запустить метод k-средних, нажав кнопку Ок.

Практическая часть

Задание 1

Дана выборка, состоящая из 8 объектов, каждый объект характеризуется по двум признакам. С помощью методов кластерного анализа разбить эту выборочную совокупность на 3 кластера следующими способами:

а) вручную, с помощью алгоритма k эталонов (использовать Евклидово расстояние), причем найти оптимальное разбиения для данных эталонов, минимизируя функционал качества Q1(S);

б) с помощью пакета SPSS, используя алгоритм k-средних;

в) проверить оптимальность выбора эталонов для первого метода с помощью результатов, полученных методом k-средних, в случае изменений пересчитать значение Q1(S) и сделать вывод.

Значения признаков х(1) и х(2) для эталонных точек и точек выборочной совокупности приведены в табл. 1 (Приложение 3).

29

Лабораторная работа 5

Реализация метода главных компонент с помощью пакета SPSS

Теоретическая часть

Факторный анализ является одним из наиболее мощных статистических средств анализа данных. В его основе лежит процедура объединения групп коррелирующих друг с другом переменных («корреляционных узлов») в несколько факторов.

Цель факторного анализа – сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более емких внутренних характеристик, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению (являются латентными).

Метод главных компонент (МГК) является наиболее удобным и распространенным методом сокращения количества исходных наблюдаемых переменных и построения на их основе внутренних латентных переменных (главных компонент), описывающих большую часть суммарной дисперсии.

Напомним, что для применения МГК исходные данные должны быть представлены в виде матрицы Х «объект – свойство» размера n p, где n – это количество объектов для анализа, а р – количество

исходных наблюдаемых переменных.

В основу МГК положена линейная модель вида:

где Y1,Y2 , ...,Yp – это стандартизированные значения р исходных

торные нагрузки или веса r-й компоненты в j-й переменной, совпадающие с коэффициентами корреляции между главными компонентами и исходными переменными.

30