Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа

1

2

3

4

Задания

8

Вычислить:

Упростить выражение:

для до-

(sin 15 × cos15 ) ×

α

+ cos

α

α

− cos

α

машней

×(cos2 15 - sin2 15 )

sin

4

sin

4

4

4

работы

9

Найти синус,

косинус,

Доказать тождество:

тангенс и котангенс уг-

сtg a - tga = 2сtg 2a

ла 2a , если cos a = -0,3

и угол α оканчивается

во 2-й четверти

10

Вычислить:

В каких пределах может изме-

1

няться выражение sina × cos a ?

а) cos 2arcsin

;

3

б)sin (2arctg 2)

Пример 8. Найти синус и косинус угла

22

′

30 .

Решение. Имеем: 22

′

α

30 =

, α =

45 . Тогда

2

1 −

2

2 −

1 − cos45

′

2

=

=

2

=

sin 22

30

.

2

2

2

Знак + перед радикалом

мы выбрали

потому,

что синус

угла 22 30′ положителен. Аналогично получим:

1 +

2

2 +

1 + cos45

′

2

=

=

2

=

cos 22

30

.

2

2

2

Пример 9.

Найти tg π .

8

Решение. Имеем: α = π , α = π . Тогда

2

8

4

1− cos π

1 −

2

(2 −

)(2 −

)

2

2

tg π

2 −

2

2

=

4

=

=

=

=

8

1+ cos

1 +

2

2 +

2

(2

+

2 )(2 −

2 )

π

4

2

=

2 −

2

=

−1.

2

2

Вид

№

1 уровень

2 уровень

заданий

п/п

1

2

3

4

Задания

1

Вычислить: а) sin15 ;

Найти

α

α

α

,

для рабо-

sin

, cos

и tg

б) tg15

2

2

2

ты у дос-

если известно, что

cos α

= 0,6

ки

и угол α

оканчивается во 2-й

четверти

2

Найти sin α , cos α и

Вычислить sin

1

arccos 0,8

tg α , если известно,

2

что cos 2α = −0,6

Задания

3

Вычислить: а) sin135 ;

Найти

α

α

α

,

для само-

sin

, cos

и tg

б) tg135

2

2

2

стоятель-

если известно, что

cos α

= 0,3 и

ной рабо-

угол α оканчивается в 1-й чет-

ты

верти

4

Найти синус, коси-

Вычислить tg

1

arccos(-0,8)

нус, тангенс и котан-

2

генс угла 2α , если

sin α = −0,1 и угол

α оканчивается в 4-й

четверти

1

2

3

4

Задания

5

Вычислить: а) cos15 ;

Найти

α

α

α

для до-

sin

, cos

и tg ,

б) сtg15

2

2

2

машней

если известно, что

cos α

= 0,7 и

работы

угол α

оканчивается во 2-й

четверти

6

Найти синус, коси-

Вычислить cos

1

arccos 0,6

нус, тангенс и котан-

2

генс угла 2α , если

cos α = −0,3 и угол

α оканчивается во 2-й

четверти

(sin 90 +sin (-60 )) =

1

1

3

2 - 3

=

× 1

-

=

.

2

2

2

4

Вид

№

1 уровень

2 уровень

заданий

п/п

1

2

3

4

Задания

1

Вычислить:

Представить произведение

для рабо-

а) sin 52 30¢×sin 7 30¢ ;

в виде суммы:

ты у доски

30¢

а) sin ( x + a)×сos( x - a) ;

б) sin 52 30¢×сos7

б) сos15 ×sin 20 ×sin 40

2

Представить произве-

дение в виде суммы:

сos17 ×сos3

Продолжение

1

2

3

4

Задания

3

Вычислить:

Представить произведение

для само-

а) сos 37 30¢×сos7 30¢ ;

в виде суммы:

стоятель-

б) 2sin 37

30¢×сos7

30¢

сos ( x + a)×сos( x - a)

ной рабо-

4

Представить произве-

ты

дение в виде суммы:

sin 7 ×сos9

Задания

5

Вычислить:

Представить произведение

для до-

а) сos 75 ×сos105 ;

в виде суммы:

машней

а) sin ( x + a)×sin ( x - a) ;

работы

б)sin 45 ×

sin15

б) 4sin 20 × сos50 × сos80

6

Представить произве-

дение в виде суммы:

sin 3 × sin 5

Пример 11.

Вычислить

sin 15 +sin 75 .

Решение. Имеем:

sin 15 +sin 75 = 2sin

15 + 75

×сos

15

- 75

=2sin 45 ×сos(-30 ) =

2

2

= 2 ×

2

×

3

=

6

.

2

2

2

Пример 12.

Вычислить sin

5π

-sin

π

.

12

12

Решение. Имеем:

5π - π

5π + π

5p

p

sin

-sin

= 2sin

12

12

×сos

12 12

=

2

12

12

2

= 2sin p ×сos p = 2 ×

1

×

2

=

2

.

6

4

2

2

2

Вид

№

1 уровень

2 уровень

заданий

п/п

Задания

1

Вычислить:

Вычислить: сos15 + sin15

для работы

а) sin

11π

+ sin

5π

;

у доски

12

12

б) sin 105 −sin 75

2

Упростить выражение:

Доказать тождество:

sin

π + α

−sin π

− α

1 −sin α = 2sin 2 π −

α

6

6

4

2

Задания

3

Вычислить:

Вычислить: сos15 −sin15

для до-

а) sin 105 + sin 75 ;

машней

б) sin

11π

−sin

5π

работы

12

12

4

Упростить выражение:

Доказать тождество:

sin

π + α

+ sin π

− α

1 + sin α = 2сos 2 π − α

3

3

4

2

Пример 13.

Вычислить

сos15 +сos 75 .

Решение. Имеем: сos15 +сos 75 = 2сos

15

+ 75

×сos

15 - 75

=

2

2

= 2 сos 45 ×сos (-30 )= 2 ×

×

=

.

2

3

6

2

2

2

Пример 14.

Вычислить

сos

5π

-сos

π

.

12

12

5π - π

5π + π

5p

p

Решение. Имеем: сos

-сos

= -2sin

12

12

× sin

12 12

=

12

12

2

2

= -2 sin p ×sin p = -2 ×

1

×

2

= -

2

.

6

4

2

2

2

Задание 8.