Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

498.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Выражение одних тригонометрических функций через другие

sinα

cos α

tg α

сtg α

secα

cosecα

tg α

sec2α−1

sinα

–

1−cos α

± 1 + tg2 α

± 1 + ctg2 α

cosec α

secα

ctg α

cos α

cosec2 α−1

1−sin

–

± 1 + tg2 α

± 1 + ctg2 α

sec α

cosecα

sinα

tg α

± 1−cos2 α

± 1−sin2

cosα

–

сtg α

sec α−1

± cosec2α−1

cosα

ctgα

± 1−sin2

sinα

1−cos2 α

tg α

–

sec2α−1

cosec α−1

cosec α

secα

± 1 + ctg2 α

± 1 + tg α

–

± 1−sin2

cos α

ctg α

cosec2α−1

sec α

± 1 + tg2 α

cosecα

sinα

1−cos2 α

tg α

± 1 + ctg α

sec2α−1

–

Во всех приведенных формулах знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

sin a +sin b = 2sin α + β ×сos α − β, 2 2

сos a+сosb = 2сos a + b ×сos a - b , 2 2

сos a+sin b = 2 сos(45°- a),

tga ± tgb= sin (a ± b) , сos a×сosb

tga +сtgb= сos(a - b) ,

сos a×sin b


tga +сtg a =2cos ec 2a,
1+ сos a =2сos2			a	,
1+ сos a =2сos2				,
		2
	2				a
1+ sin a =2сos		45°-				,
1+ sin a =2сos		45°-				,
					2

sin a -sin b = 2сos α + β ×sin α − β , 2 2

сos a -сosb =- 2sin a + b ×sin a - b , 2 2

сos a -sin b = 2 sin (45°- a),

сtga ± сtgb= sin (b ± a) , sin a×sin b

tga -сtgb=- сos(a + b) ,

сos a×sin b

tga -сtg a =-2сtg 2a,

1- сos a =2sin2		a		,
		2

1- sin a=2sin	2		45°-		a
						.

					2

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

sin a×sin b = 1 (сos(a - b) -сos(a + b) ), 2

сos a×сosb = 1 (сos(a - b) +сos(a + b) ), 2

sin a×сosb = 12 (sin (a - b) +sin (a + b)),


tga×tgb=		tgα + tgβ		= -		tgα − tgβ			,
	сtga +сtgb					сtga -сtgb

сtga × сtgb=			сtga +сtgb		= -		сtga -сtgb			,
							tga - tgb
			tga + tgb
tga×сtgb=		tga +сtgb		= -		tga -сtgb		.
		сtga + tgb
						сtga - tgb

Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими функциями

arcsin α = − arcsin (−α) = π − arcсos α = arctg			α			,
arcsin α = − arcsin (−α) = π − arcсos α = arctg						,
2		1 − α2
arcсos α = π − arcсos (−α) = π − arcsin α = arcctg				α			,
arcсos α = π − arcсos (−α) = π − arcsin α = arcctg							,
2	1			− α2
arctg α = −arctg (−α) = π − arcctgα = arcsi n			α		,
arctg α = −arctg (−α) = π − arcctgα = arcsi n					,
2	1 + α2

Функция

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x y = arcsec x

y = arccosec x

Область определения	Область значений
−1 ≤ x ≤ 1	− π ≤ y ≤ π
	2	2
−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π
−∞ < x < +∞	- π < y < π
	2	2

−∞ < x < +∞		0 < y < p
x £ -1, x ³1	0 £ y £ p, y ¹ π
		2
x £ -1, x ³1	- π < y < π , y ¹ 0
	2	2

Решение тригонометрических уравнений

sin x = a,

≤ 1

cos x = a,

≤ 1

x = (−1)n

arcsin a + π n, n Z .

x = ±arccos a + 2π n, n Z .

Частные случаи:

Частные случаи :

1. sin x = 1, x = π + 2π n, n Z .

1. cos x = 1, x = 2

π n, n

Z .

2. cos x = 0, x =

+ π n, n Z .

2. sin x = 0, x = π n, n Z .

3. sin x = −1, x = − π + 2π n, n Z .

π n, n Z .

3. cos x = −1, x = π + 2

tg x = a

ctg x = a

x = arctg a + π n, n Z.

x = arcctg a + π n, n Z.

1.Нахождение значений тригонометрических функций

Пример 1. Вычислить:

2sin 30 + 3cos30 - 2 tg 30 - 4ctg 30 + sec30 -cos ec30 .

Решение.

2sin 30 + 3cos30 - 2 tg 30 - 4ctg 30 + sec30 -cosec30 =

= 2 × 1 + 3 × 3 - 2 × 3 - 4 × 3 + 2 - 2 =1 + 33 - 23 - 43 + 23 - 2 =

2	2	3	3			2		3	3
		= -1 -		5	3		.
		= -1 -					.
					2
Пример 2. Найти значения			тригонометрических функций угла

ϕ , если известно, что sin j = 3 . 5

Решение

Из тождества sin2 ϕ + cos2ϕ = 1 находим: cos2ϕ = 1 − sin2 ϕ = 16 . 25

Поэтому cos ϕ = ± 4 . Знак «+» или «-» следует выбирать в зависи- 5

мости от того, в какой четверти оканчивается угол ϕ . По условию

sin ϕ = 3 > 0 . Значит, угол ϕ оканчивается либо в 1-й, либо во 2-й 5

четверти. Если он оканчивается в 1-й четверти, то cos ϕ = 4 . Если

же он оканчивается во 2-й четверти, то cos ϕ = − 4 . 5

В первом случае

tg ϕ =			sinφ		=	3			;		ctg ϕ =	cosφ				=		4	;
			cosφ															3
					4							sinφ
sec ϕ =			1		=		5			; cosec ϕ =					1			=		5	.
				cosφ										sin φ
					4														3
Во втором случае
tg ϕ = −	3	; ctg ϕ = −						4		;	sec ϕ = −		5		;		cosec ϕ =					5	.

4					3						4								3

Пример 3. Найти значения тригонометрических функций угла ϕ , если известно, что он оканчивается в 4-й четверти и

tg ϕ = − 3 . 4

Решение

Используя тождество 1 + tg2 ϕ = sec2 ϕ, найдем sec ϕ :

		3	2		25		5
sec2 ϕ = 1 +	−			=		; sec ϕ =		.
sec2 ϕ = 1 +	−	4		=	16	; sec ϕ =	3	.
		4			16		3

Знак «+» перед радикалом мы взяли потому, что угол ϕ по усло-

	1
вию оканчивается в	4-й четверти, sec ϕ =		,	а косинус угла,
		cosϕ

оканчивающегося в 4-й четверти, положителен; поэтому положителен и sec ϕ.

Далее получаем: cos ϕ =	1	=	4		.
	sec ϕ
		5
Теперь, используя тождество sin2ϕ +							cos2ϕ = 1, найдем sin ϕ:
sin2 ϕ = 1 − cos2ϕ =				9		,	sin ϕ = −	3	.

		25					5

Здесь перед радикалом нужно брать знак «-», поскольку синус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, отрицателен.

Итак, мы получили sin ϕ, cos φ, tg φ, sec φ. После этого легко найти значения и других тригонометрических функций угла φ:

ctg ϕ =	cosϕ	= −	4	;	cosec ϕ =	1	= −	5	.
	sin ϕ					sin ϕ
		3					3

Задание 1. Вычислить:

Вид	№	1 уровень	2 уровень
заданий	п/п	1 уровень	2 уровень
заданий	п/п

1	2	3	4

	1	2sin 0 − 5cos 0 + 7 tg 0 −	5sin 45 + 2cos 45 + 3tg 45 −
Задания	1	− 4ctg 30 + sec0	−10ctg 45 − 4sec 45 − 7 cos ec 45
Задания
для рабо-
для рабо-
ты у дос-	2	sin 2(-30o )+ cosec 2(-30o )	sin 45ocos 60o − sin (-60o )cos( -45o )
ки
ки	3	sin 270 + cos 270 − ctg 270	sin 270ocos 60o − sin 60o cos ( -270o )
	3	sin 270 + cos 270 − ctg 270	sin 270ocos 60o − sin 60o cos ( -270o )

Продолжение

Задания

sin 90

− 6cos90

sin 90

− cos180 + 3ctg 270 +

для само-

+ 3ctg 90 + 5cosec90

+5cosec90

стоятель-

sec(-60o )cosec30o +

ной рабо-

)

+ cosec(−30

)

ты

sec(−30

+ sec30ocosec(-60o )

3sin 90

− 5cos90 +

sin 60

− tg 60

−

Задания

+ cos 60

+ 7 tg 90

+ sec90

− ctg 60 + sec60 − cosec60

для до-

машней

−sin 270 + cos 270 − ctg 270

sin 270 cos 0 − tg 60 −

работы

−sin 30 cos(−180 )

Задание 2. Найти значения тригонометрических функций угла α по следующим данным:

Вид заданий

№

1 уровень

2 уровень

п/п

Задания для

sin α = 0,6

0 < α < 90

sin α = 0,3

работы у дос-

сos α = −0,8 180 < α < 270

cos α = −0,4

ки

tg α = −2 270 < α < 360

cosec α = 5

Задания для

сos α =

270 < α < 360

tg α =

самостоя-

тельной ра-

tg α =

180 < α < 270

secα = 3

боты

Задания для

tg α = 2 180 < α < 270

ctg α = −

домашней

работы

sin α = 0,1

270 < α < 360

secα = −3

2. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла

Пример 4. Найти sin α и cos α , если tg α = 2 .

Решение.

2 tg α

1− tg2 α

1− 4

sin α =

= 0,8, cos α =

= −0,6.

2 α

1+ tg

+ tg

1+ 4

Задание 3.

Вид

№

1 уровень

2 уровень

заданий

п/п

Найти sin α и cos α , если

Известно, что tg α =

= 5

Задания

tg 2

Найти sin4 α − cos4α

для работы

Найти sin 2a и cos 2a , ес-

Доказать, что sin 2a и

у доски

tg α имеют один и тот же

ли ctg a = 3

знак при любом α

Задания

Найти sin a и cos α , если

Найти sin 2a и cos 2a ,

сtg α = 2

если tg α = 2

для само-

стоятель-

Найти sin 2a и cos 2a , ес-

Известно, что сtg α =

ной рабо-

ты

ли tg a = -3

Найти sin 2a × cos a

Найти sin a и cos α , если

Найти sin 2a и cos 2a ,

Задания

tg α = −6

если сtg α =

для до-

2 4

машней

Найти sin 2a и cos 2a , ес-

Известно, что tg α = 5.

работы

ли ctg a = 4

Найти sin a - cos 2a

3. Тригонометрические функции двойного угла

Пример 5. Пусть sin α = 0,6 , причем угол α оканчивается во 2-й четверти. Найти sin 2α и cos 2α .

Решение.

cos2α = 1 − sin2α = 1 − 0,36 = 0,64, cosα = −0,8 .

Поэтому

sin 2a = 2sin a ×cos a = 2 × 0,6 ×(-0,8) = -0,96; сos 2α =сos2α− sin2 α = 0,64 − 0,36 = 0,28.

Пример 6.

Пусть tg α = 3 . Найти tg 2α .

Решение.

2 tg α

tg 2α =

= −

= −0, 75.

− tg2 α

− 9

Пример 7.

Вычислить tg 2arcsin

Решение.
								1											1
Пусть arcsin −									= α .		Тогда sin α = −									,	угол α оканчивается в
Пусть arcsin −									= α .		Тогда sin α = −									,	угол α оканчивается в
								3											3

4-й четверти, cos α =												=			1 −		1	=	2		2	,		tg α = −			1
										1−sin2 α							1		2		2						1		,
										1−sin2 α										3									,
															9					3							2	2
															2 ×				-		1			-	1
					1						2 tg a

																				2 2
																										2

tg	2 arcsin -						= tg 2a =									=								=			=
tg	2 arcsin -						= tg 2a =				1 - tg		2	a		=							2	=		1	=
					3						1 - tg			a							1			1 -		1
																1 - -								1 -		8

																				2	2
																				2	2
= −	8		= −	4	2	.
= −			= −			.
	7	2			7

Задание 4.

Вид

№

1 уровень

2 уровень

заданий

п/п

Задания

Вычислить:

Упростить выражение:

для рабо-

(-sin 22 30¢× cos 22 30¢) ×

cos

- sin

ты у доски

- a

×(cos2 22 30¢ - sin2 22 30¢)

Известно, что sin α = 0,8 ,

Найти cos α , если

причем угол α

оканчива-

sin α = −0,1 и угол α окан-

ется во 2-й четверти. Най-

чивается в 4-й четверти

ти синус, косинус, тангенс

и котангенс угла 2α

В какой четверти оканчи-

Найти tg 2α и cos 2α , если

вается угол α , если:

известно, что угол α окан-

а) sin α > 0 ,sin 2α > 0 ;

чивается не в 1-й четверти и

б) sin α < 0 , sin 2α > 0 ?

tg α =

Вычислить: а) tg (2arctg 3) ;

Доказать, что для любого

−

острого угла

α :

б) tg 2arccos

sin 2α < 2sin α

Задания

Вычислить:

Упростить выражение:

для само-

(sin 135 × cos135 )×

стоятель-

× (cos2 135 - sin2 135 )

sin

- a

× cos

- a

ной рабо-

ты

Найти синус, косинус,

Найти sin 2α и cos 2α , если

тангенс и котангенс угла

tg α = 2.

2α , если sin α = −0,1 и

угол α оканчивается в 4-й

четверти.

Вычислить:

Доказать тождествo:

cos4α − sin4 α = cos 2α.

а) tg 2arccos

;

б) tg 2arcsin

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2015149.5 Кб37ГЛАВА 18.doc
#
22.03.20151.69 Mб116ГЛАВА 19.doc
#
22.03.2015454.14 Кб127ГЛАВА 20.doc
#
22.03.2015201.73 Кб80ГЛАВА 21,заключение,литература.doc
#
14.11.2019388.1 Кб19ГЛИН.doc
#
22.03.2015498.19 Кб24Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа.pdf
#
02.12.20181.35 Mб10Горелов И.doc
#
22.03.201549.24 Кб91ГОРМОНАЛЬНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ.docx Физиология.docx
#
22.03.2015243.58 Кб17ГОРНЫЕ ПОРОДЫ.docx
#
22.03.2015222.72 Кб58ГОРОД у Белого моря.doc
#
22.03.2015658.94 Кб13ГОСТ 21.201.doc