Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

498.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

																						Продолжение
1	2					3															4
			c										b		2
	11	log9 81d			,	если		5 × logb2					b			,если loga b = 3
		log9 c = 5,				log9 d = 7						a		a
												a

		log 5	( 1 )10 , если					(log						1 - log53 3
	12		8 p					(log				3 + log						5 +1) × log				5
		log8 p = − 5									5						3					5 3
	13	lo g 8 7		-			1		1
		lo g 8 7					1	32log7 3 ×3log328 -										7 ×8log38 +(				3)log3 25
		lo g 8 4				lo g 2 8 4		32log7 3 ×3log328 -										7 ×8log38 +(				3)log3 25
	14	log 4 384				-	log 4 192	log 175 56 ,если log 147 = a,log 145 = b
	14	log1,5 4				-	log 3 4	log 175 56 ,если log 147 = a,log 145 = b
		log1,5 4					log 3 4
	15	log 3	36								1										1
	15	log 3	36					20	2 log81 5					×	0, 25				2 log81 5
			6					20						×	0, 25
		(1 )log 25 , (					2	log15 75 + log225 15 + log15 45 +
	16	(1 )log 25 , (				5)log 95		+ 4 × log								128 × log32 27 +							log2 49
		2						+ 4 × log						3	3	128 × log32 27 +							2
												3			3
																						1
		log	3 log 1			1								2								3
						1																3
	17					125		1,52 log5 3 − log5 4											+11×8log27 3
					5	125

Задания														b		+ logb a (a b ) +							1	5
Задания								log a															4 log	5	a
для са-	18	log12 5 × log25 12						log a				b a2											4 log	3 a	a
мостоя-								если loga b = 1
тельной																		2
работы		log a 81, если						log			250					log					10
	19	log a 81, если						log		5	250			-		log				5	10
										5										5
		log 9	a = 2					log50 2								log1250 5
		log 9	a = 2					log50 2								log1250 5
	20	6log3 2 × log4 3 × log5 4 ´						(log3 2 + log2 81 + 4) (log3 2 − 2log18 2) ×
	20	´ log6 5 × log7 6 × log8 7															´ log2 3 - log3 2
		´ log6 5 × log7 6 × log8 7															´ log2 3 - log3 2
	21	log3 5		-			1	log22 14 + (log2 14) × (log2 7) - 2log22 7
	21	log 3 2		-	2 × log80 2										log2 14 + 2log2 7
		log 3 2			2 × log80 2										log2 14 + 2log2 7
									2
	22	(42−log2 6 + 2 × 3− log3 36 )−1						7log2 7 × 4log42 6 - 4 × 6log4 6 + ( 3 5 )log3 27
																									21

Окончание

1	2						3															4

													1	−	1	log2 4			+ 25	log		8	× 49	log 2
	23	4									81			−		log2 4				log		8		log 2
	23	4		2 log4 10							81			2						125				7
				2 log4 10							4			2						125				7


	24				1					2 lg 2 + lg 3
		64			3 log27 8
Задания					3 log27 8					lg 48 - lg 4
Задания										lg 48 - lg 4
для до-
для до-	25	103−lg 4 - 49log7 15									log 275 60 ,если log12 5 = a, log12 11 = b
машней	25	103−lg 4 - 49log7 15									log 275 60 ,если log12 5 = a, log12 11 = b
машней
работы														2			- 4 × log			2	+ 3		× log2 18 + 6 × log2 3
	26	log2 2 × log2 3 × log5							3			log2 18					- 4 × log			2 3	+ 3		× log2 18 + 6 × log2 3
	26	log2 2 × log2 3 × log5							3										log2 18 + 2 × log2 3
																			log2 18 + 2 × log2 3

	28		log3 27			-		log3 216		log2				25		−		log2 400
	28		log72 3			-		log8 3		log100 2						−		log6,25 2
			log72 3					log8 3		log100 2								log6,25 2

2. Логарифмические уравнения

Пример 1.

x − 2

log

= 1.

x + 3

Решение: ОДЗ:

x − 2

> 0

x + 3

+ __

x (− ; − 3) (2; + )

-3

log

x − 2

=1; log

x − 2

= log

3 x + 3

x - 2

= 3;

x - 2

- 3 = 0;

x + 3

x - 2 - 3×( x + 3)

= 0;

x - 2 - 3x - 9

= 0;

x + 3

-2x -11

= 0; - 2x -11 = 0;

x = -5,5

x + 3

Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: {−5, 5} .

Пример 2.

log0,5 (2x −1) = x −1.

Решение:

ОДЗ: 2х −1 > 0;

2х > 1;

2х

> 20 ; т.к. основание а = 2 >1, тогда х > 0 x ( 0; + ∞ ) .

log0,5 (2x −1) = x −1;log0,5 (2x −1) = log0,5 0,5x−1;

2x −1 = 0,5x−1;

2x −1 = (2−1 )x−1;

2x −1 = 21−x ;

Пусть

2x = t,

t > 0, тогда

t −1 =

;

t 2 − t − 2

= 0;t 2 − t − 2 = 0

t = −1

= 2(t > 0), следовательно

2x = 2;

x = 1

или t

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

{1} .

Пример 3.

lg 2 x = lg1000x 2

Решение: ОДЗ: x > 0 x (0; + )

lg2 x = lg1000x2

lg2 x = lg1000 + lg x2

lg2 x − 2lg x − 3 = 0.

Пусть lg x = t,

тогда t 2 − 2t − 3 = 0, t

= −1 или

= 3,

lg x = −1 или

lg x = 3, x =

или x = 1000.

Так как x > 0, то lg x2 = 2lg x

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

; 1000 .

Задание 2. Вычислите.

Вид за-

№

1 уровень

2 уровень

даний

п/п

x − 2

log5 (log2 x) = 1

log3 x + 3 =1

log 2 x+3 1 = -2

log3 log9 x + 1 + 9x

= 2x

Задания

log0,5 (2x -1) = x -1

lg2 (10x) + lg(10x) = 6 - 3log 1

для ра-

2log4 (4 − x) = 4 − log2 (−2 − x)

logх

5х × log5 x = -1

боты у

доски

2log3 ( x - 2)

+ log3 ( x -

= 0

( x -1)

+ lg

( x -1)

= 25

6 lg2 x - 3lg x + 2 = 0

4lg x+1 - 6lg x - 2 ×3lg x2 +2

= 0

log3 x + log x

1 =1

10 × x2 lg2 x

= x3 lg x

log 3

= -1

xlg x−3

= 0,01

2x +1

Задания

x + log2 (2x - 31) = 5

3lg x2 - lg2 (-x) = 9

для са-

log9 (2x

+ 9x + 5) +

мостоя-

log

4x + log2

= 8

тельной

+ log1 (x + 3) = 0

0,5

работы

5 - log1 x +

1 + log1 x =1

1 + 2logx 2 × log4

(10 - x) =

log4 x

Задания

log3

x − 2 =1

x2 lg x -10x = 0

x + 3

для до-

lg(3x − 7) + lg 2 =

log3x

3 - log32 x =1

машней

= lg(x + 3) + lg(x - 3)

работы

3x -log6 8x =log6 (33x +x2 -9)

14 2log32 x - 7 log3 x + 3 = 0

Тема 4

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Соотношение между градусной и радианной мерами угла

1° = π рад ≈ 0,017рад

180

1рад = 180° ≈ 57°

Определения тригонометрических функций

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Синус: sin α = противолежащий катет. гипотенуза

Косинус: соs α = прилежащий катет. гипотенуза


Тангенс: tg α =	противолежащий катет		.

	прилежащий катет
Котангенс: ctg α =		прилежащий катет		.

		противолежащий катет

Синус и косинус определены для любого угла α . Тангенс опре-

делен для всех значений угла α , кроме π + π n , котангенс опреде- 2

лен для всех значений угла α , кроме π n , где n – любое целое число.

Секанс: sec a =	1		,	a ¹ π + pn, n Î Z.
	cos α
					2
Косеканс: cosec a =			1	,	a ¹ pn, n Î Z.
		sin α

Периодичность тригонометрических функций
Функции sin, cos, sec, cosec					имеют период – 2π , а функции
tg, ctg – период π :
sin (α + 2πn) = sinα, сos(α + 2πn) = cosα,
seс(α + 2πn) = seсα, сosec(α + 2πn) = cosecα,
tg(α +πn) = tgα,					сtg(α +πn) = ctgα, n Z.

Формулы приведения

Вычисление значений тригонометрических функций любого угла сводится к вычислению значений тригонометрических функций острого угла по следующим правилам:

Аргумент					Функции
Аргумент
			sin	cos	tg	ctg	sec	cosec

	−α		−sinα	cos α	−tg α	−ctg α	sec α	−cosec α

	π ± α		cos α	sinα	ctg α	tg α	cosec α	sec α
2

	π ± α		sinα	− cos α	±tg α	±ctg α	−sec α	±cosecα

	3π	± α	− cos α	±sinα	ctg α	tg α	±cosecα	−sec α
2		± α	− cos α	±sinα	ctg α	tg α	±cosecα	−sec α
2

	2π − α		−sinα	cos α	−tg α	−ctg α	sec α	−cosec α

Некоторые значения тригонометрических функций

		α	sinα						cos α					tg α			ctg α

0					0						1					0			−

		π				1
													3			3
													3			3			3
6					2						2					3			3
6					2						2					3
		π
		π					2						2			1			1
4
					2						2
					2						2
		π										1
							3												3
							3									3			3
3					2						2					3			3
3					2						2								3
		π			1						0					−			0
2					1						0					−			0
2
		2π											1
							3			−				−			−		3
							3									3			3
3					2											3			3
3					2								2						3
		3π
		3π					2		−				2		−1			−1
4
					2								2
					2								2
		5π				1
									−				3	−		3	−
													3			3			3
6					2								2			3			3
6					2								2			3
		π			0						−1					0			−

		7π						1
				−					−				3			3
													3			3			3
6							2						2			3			3
6							2						2			3
		5π
		5π	−				2		−				2			1			1
4
							2						2
							2						2
		4π											1
			−				3			−									3
							3									3			3
3							2						2			3			3
3							2						2						3
		3π			−1						0					−			0
2					−1						0					−			0
2
		5π										1
			−				3							−			−		3
							3									3			3
3							2				2					3			3
3							2				2								3
		7π
		7π	−				2						2		−1			−1
4
							2				2
							2				2
11π								1
				−									3	−		3	−
													3			3			3
	6															3			3
	6						2				2					3
		2π			0						1					0			−

Тригонометрический круг

Основные тригонометрические тождества

	sin2a + cos2a = 1,
tg a =		sin α		=	1	,
		cos α			ctg α

1 + tg2a =	1		= sec2a,

	cos2a

tg a × ctg a = 1,
ctg a =	cos α		=		1	,
				tg α
	sin α
1 + ctg2a =		1			= cosec2a.

		sin2 a

Четность и нечетность тригонометрических функций

Функции cos,sec – четные,	sin, tg, ctg, cosec – нечетные:
sin (−α) = −sinα,	сos(−α) = cosα,
tg(−α) = −tgα,	сtg(−α) = −ctgα,

seс(−α) = seсα, сosec(−α) = −cosecα.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

sin (a ± b) = sina × сosb ± сos a × sin b, сos(a ± b) =сosa × сosb sin a × sin b,

tg(a ± b) = tg α± tg β , 1 tg a×tgb

(a ± b) = ctg a ×ctgb 1 ctg ctg a±ctgb .

Выражение sinα, cosα, tgα через tg(α/2)

	2 tg α		1 - tg2 α		2 tg α
sin a =	2	, cos a =	2	, tg a =	2	.
sin a =	1 + tg2 α	, cos a =	1 + tg2 α	, tg a =		.
	1 + tg2 α		1 + tg2 α		1- tg2 a
	2		2		2

Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов

sin 2a =2 sin a×сos a,

сos 2α =сos2α− sin2α =1−2sin2α = 2 сos2α −1,

tg 2α =	2 tg α	,	ctg 2α =	ctg2 α −1	,
	− tg2 α			2ctg α
1

sin 3α =3sin α − 4sin3α, сos3α = 4 сos3α −3сosα,

tg 3α =

3tg α − tg3 α

ctg 3α =

ctg3 α − 3ctg α

1 − 3tg2 α

3ctg2 α −1

sin α = ±

cos α = ±

1− cos α

1+ cos α

tg α = ±

sin α

1− cos α

1+ cos α

sin α

ctg α = ±

sin α

1+ cos α

1− cos α

sin α

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2015149.5 Кб37ГЛАВА 18.doc
#
22.03.20151.69 Mб116ГЛАВА 19.doc
#
22.03.2015454.14 Кб127ГЛАВА 20.doc
#
22.03.2015201.73 Кб80ГЛАВА 21,заключение,литература.doc
#
14.11.2019388.1 Кб19ГЛИН.doc
#
22.03.2015498.19 Кб24Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа.pdf
#
02.12.20181.35 Mб10Горелов И.doc
#
22.03.201549.24 Кб91ГОРМОНАЛЬНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ.docx Физиология.docx
#
22.03.2015243.58 Кб17ГОРНЫЕ ПОРОДЫ.docx
#
22.03.2015222.72 Кб58ГОРОД у Белого моря.doc
#
22.03.2015658.94 Кб13ГОСТ 21.201.doc