Тема 8. Системы. Матрицы. Определители.

Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара 2х2. Геометрическая интерпретация решения системы 2х2. Определители 3х3. Метод Крамара 3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка. Метод Гаусса.

Приведение системы к ступенчатому виду. Исследование системы по ступенчатому виду. (СР) Случай однородной системы.

Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций. Произведение матриц. Единичная матрица.

Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение по строке (столбцу). Определитель произведения матриц.

Тема 9. Векторы

Понятие вектора. Равенство двух векторов. Операции сложения векторов и умножения вектора на число. Длина, направляющие косинусы вектора, орт. Стандартный базис . Координаты вектора. Запись в координатах длины вектора, операций сложения и умножения на число.

Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения. Разложение вектора по ортонормированному базису. Свойства и запись в координатах скалярного произведения.

Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в координатах. Геометрический смысл определителя .

(СР) Смешанное произведение. Определение, свойства и метод вычисления. Геометрический смысл смешанного произведения. Геометрический смысл определителя

Тема 10 аналитическая геометрия

Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Вектор, перпендикулярный прямой. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Полуплоскости, задаваемые прямой.

Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Запись уравнения плоскости по заданным элементам. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Общий случай расположения трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Полупространства, определяемые плоскостью.

Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

Эллипс, геометрическое определение. Приведение к каноническому виду. Полуоси, эксцентриситет. Свойства эллипса. Гипербола, парабола - их свойства и геометрические определения.

(СР) Поверхности второго порядка : эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболических параболоид. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка. Сечение поверхности второго порядка плоскостью.

Тема 11 функции многих переменных

Понятия функций двух и трех переменных многих переменных; область определения, график, линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность ф.м.п.

Частные производные. Теорема о равенстве смешанных производных.

(СР) Дифференциал ф.м.п. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции. Неявные функции, их дифференцирование.

(СР) Градиент, его геометрический смысл.

Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.

(СР) Скалярное поле и производная по направлению.

Формула Тейлора функции двух переменных.

Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных.