Экзамен

• В билете 5 заданий – два теоретических и три задачи. Все задания по разным темам

• Предоставляется право выбора билета «на удачу»

• При подготовке к ответу разрешается пользоваться СВОИМ конспектом. Другие материалы (печатные, рукописные, электронные, по любой из сущестующих дисциплин) иметь при подготовке не разрешается

• Разрешается на подготовку взять с собой воду (350 мл); ничего более.

• При подготовке не разрешается иметь при себе электронные устройства, включая сотовый телефон и калькулятор

• Общение между экзаменующимися строго запрещено. Все вопросы к экзаменатору.

• С собой иметь : а) зачетку, б) бумагу (2-3 листа формата А4 или эквивалент этого); в) ручку (карандаш и ручка с красными чернилами не допустимы)

• При ответе, понятия и формулировки теорем экзаменационного задания экзаменующийся должен озвучить «на память», без использования конспекта и подготовительных материалов

• Перед выбором билета экзаменующийся складывает все свои личные вещи в отведенное место и подходит к экзаменатору с зачеткой, ручкой и бумагой. Каждый лист бумаги должен быть подписан. Первый, титульный лист должен содержать в правом верхнем углу

  • вид и название процедуры («Экзамен по математике, 1 семестр»);

  • ФИО;

  • группа;

  • дата;

  • подпись.

• После выбора билета экзаменатор фиксирует номер билета на титульном листе и экзаменующий сразу садится на указанное экзаменатором место.

• Повторный выбор билета не допускается.

• Выходить во время экзамена нельзя.

Программа курса математики спец. ИСТ, ВТ, 1 семестр

Тема 1. Множества. Логика.

Элемент и множество, принадлежность. Пустое множество. Равенство множеств. Задание множеств. Конечные и бесконечные множества. Подмножество, отношение включения. Операции объединения, пересечения и разности над множествами.

Пары, равенство пар. Декартово произведение двух множеств.

Высказывания, истинность и ложность высказываний. Импликации, эквивалентные высказывания. Кванторы существования и всеобщности.

Тема 2. Числа

Натуральные числа. Цифры. Десятичная система счисления. Целые числа. Продолжение порядка на целые числа. Кольцо чисел. Рациональные числа. Понятие поля чисел. Десятичные дроби.

Поле действительных чисел. Числовая ось. Полнота числовой прямой, аксиома о точной верхней грани. Бесконечные десятичные дроби. Определение поля . Линейная упорядоченность поля. Операции сложения и умножения над действительными числами. Следствия из аксиомы о верхней грани. Длина отрезка числовой оси.

Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.

Тема 3. Функции

Отображение множеств. Биекции. Композиция отображений. Обратное отображение. Аналитические выражения.

Функции, аргумент, значение функции, область определения (ОДЗ), область значений. Функции заданные аналитическим выражением, естественная ОДЗ таких функций. График функции.

Основные элементарные функции. Линейные функции. Квадратные трехчлены. Многочлены. Рациональные дроби. Показательные и логарифмические функции. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Элементарные функции.

Тема 4. Предел и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности. Свойства предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Число e.

Предел функции. Свойства предела функции.

Бесконечно малые величины (б.м.). Свойства б.м.. Сравнение б.м., эквивалентность б.м. Принцип замены б. м. на эквивалентные. Бесконечно большие величины.

Замечательные пределы. Таблица эквивалентных б.м.

Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака. Функции непрерывные на отрезке. Принцип непрерывности.

Тема 5. Производная.

Определение и уравнение касательной. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Правила дифференцирования. Таблица производных. Дифференцирование неявно заданных функций. Логарифмическая производная. Дифференциал.

Производные высших порядков.

Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя. Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции, степенной и показательной функций.

Формула Тейлора -- локальная и с остаточным членом в форме Лагранжа. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Формула Маклорена.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники, бином Ньютона, логарифм).

Тема 7. Исследование функций

Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков возрастания и убывания. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на отрезке.

Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Асимптоты, их определение и способы отыскания.