teor ver i mat stat / teor_veroyatnosti

1. Рабочий обслуживает 3 станка. Событие, заключающееся в том, что в течение часа первый станок потребует внимание рабочего – А₁ , второй - А₂, третий – А₃. Выразить через А_i следующие события:

b)       В - хотя бы один станок не потребует внимания;

P(A₁)=1-A₁

P(A₂)=1-A₂

P(A₃)=1-A₃

P(A_i)=P*(A₁*(1-A₂)*A₃+(1-A₁)*A₂*A₃+A₁*A₂*(1-A₃))

Ответ: P(A_i)=P*(A₁*(1-A₂)*A₃+(1-A₁)*A₂*A₃+A₁*A₂*(1-A₃))

c)        С - ни один станок не потребует внимания.

Р(А_i)=Р(А₁ )*Р(A₂ )*Р(A₃)

Ответ: Р(А₁ )*Р(A₂ )*Р(A₃)

2.  Брошены 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

a)       сумма выпавших очков равна 7;

Решение:

N=36

A (2;5), (3;4), (6;1), (1;6), (4;3), (5;2)

m=6

P(A)=m/n=6/36=0,17

Ответ: Р(А)=0,17

b)       сумма очков равна 5, а произведение 6

A(2;3), (3;2)

P(A)=2/36=0,05

Ответ:Р(А)=0,05

c)        сумма очков не превышает 4

A(1;1), (1;2), (2;1), (1;3) (3;1)

P(A)=5/36=0,13

Ответ: Р(А)=0,13

d)       разность очков меньше 3;

A(1;1)

P(A)=1/36=0,02

Ответ: Р(А)=0,02

e)       сумка очков расположена в промежутке [4; 7].

A(1;4), (4;1), (2;3), (3;2), (1;5), (5;1), (2;4), (4;2), (3;3)

P(A)= 9/36=0,25

Ответ: Р(А)=0,25

3. В электросеть включены лампочки, соединенные между собой следующим образом : 

Вероятность безотказной работы i-й лампочки 0,6. Найти вероятность безотказной работы цепи.

Ответ: вариант «б», потому что независимо от того, какая лампочка выйдет из строя, все остальные будут работать

4. В ящике 10 деталей, среди которых 4 бракованные. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что:

a)       извлеченные детали качественные

Ответ: 0,16

b)       среди извлеченных 2 бракованные.

Ответ: 0,6

5.  Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 4-х выстрелах стрелок попадет:

a)       не более 3 раз;

P(m≤3)= φ(

Ответ: P(m≤3)=

b)       ни одного раза;

P_n(m)=

Ответ: P_n(m)=

c)        хотя бы один раз.

P_n(m)=0,49865=0,79784

Ответ: P_n(m)= 0,79784

6.  Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что:

1. на каждом из выпавших граней появится 1 очко

n=216

A(1;1;1)

P(A)=1/216=0,004

Ответ: Р(А)=0,004

2. на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;

A(1;1;1), (2;2;2), (3;3;3), (4;4;4), (5;5;5); (6;6;6)

Р(А)=6/216=0,02

Ответ: Р(А)=0,02

3. сумма выпавших очков не превысит 5.

А(1;1;1), (1;1;2), (1;2;1), (2;1;1), (2;2;1), (2;1;2), (1;2;2)

Р(А)=6/216=0,03

Ответ: Р(А)=0,03

8. В первой урне содержится 8 шаров, из них 2 белых, во второй урне 10 шаров, из них 7 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложила во вторую. Найти вероятность того, что извлеченный после этого шар из второй урны окажется белым.

P(A)=19/20=0,95

Ответ: Р(А)=0,95

10. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле равна 0,75. Составить закон распределения случайной величины X числа попаданий в цель при 5-ти выстрелах. Найти М(Х), D(Х), σ(х)

х	0	1	2	3	4	5
Р	0,0009	0,01	0,08	0,26	0,39	0,23

Р(х=0)=0,25⁵=0,0009

Р(х=1)=5*0,75*0,25⁴=0,01

Р(х=2)=10*0,75²*0,25³=0,08

Р(х=3)=10*0,75³*0,25²=0,26

Р(х=4)=5*0,75⁴*0,25=0,39

Р(х=5)=0,75⁵=0,23

М(х)=0*0,0009+1*0,01+2*0,08+3*0,26+4*0,39+5*0,23=3,66

M(x²)=1*0,1+4*0,08+9*0,26+16*0,39+25*0,23=14,66

D(x)=M(x²)-[M(x)]²=14,66-3,66²=1,27

σ(х)==

Ответ: М(х)=3,66; D(x)=1,27; σ(х)=1,12

14.     Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

m=0

φ(t)=50/20=0,5

(P(t)≤0,5)=2*φ(0,5)-1=2*0,84134-1=0,68268

Ответ P(t)=0,68268

 

15.    Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит:

a) 4 вызова;

2*3=6

P(m=4)=(6⁴/4!)*e^-6=54*e^-6

Ответ:P(m)= 54*e^-6

b) менее 4 вызовов

P(m<4)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)+P(m=3)=(5⁰/0!)*e^-6+(5¹/1!)*e^-6+(5²/2!)*e^-6+ +(5³/3!)*e^-6=39,3*e^-6

Ответ: P(m)= 39,3*e^-6

c)  не менее 4 вызовов

P(m≥4)=1-P(m<4)=1-39,3*e^-6

Ответ: P(m)= 1-39,3*e^-6