pamyatka / Пределы

0) Постоянная величина (число) сама себе служит пределом: .

1а) Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина, т.е. если х → ∞, то .

1b) Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина, т.е. если х → 0, то .

2a) Если две переменные стремятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заключена между ними, то и она стремится к этому же пределу. Если x_n < y_n < z_n, причем x_n → p и z_n → p, то y_n → p.

2b) Если две функции F(x) и Ф(х) стремятся к одному и тому же пределу A при х → p, а значения функции f(x) заключены между значениями F(x) и Ф(х), то f(x) стремится к этому же пределу A при х → p .

Если F(x) ≤ f(x) ≤ Ф(х) и

, то .

3) Предел суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) пределов этих слагаемых:

lim (u ± v ± … ± t) = lim u ± lim v ± … ± lim t.

4) Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей:

lim (u · v · … · t) = lim u ·lim v · … · lim t.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела lim c·u = с · lim u.

5) Предел частного равен частному пределов, если только предел делителя (знаменателя) не равен нулю: , если lim v ≠ 0.

6) Если предел числителя не равен нулю, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби является бесконечно большой величиной (см. п.1b):

Если lim u ≠ 0, а lim v = 0, то . Если же lim u =0 и lim v =0, то для нахождения предела необходимы дополнительные исследования.

0) Постоянная величина (число) сама себе служит пределом: .

1а) Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина, т.е. если х → ∞, то .

1b) Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина, т.е. если х → 0, то .

2a) Если две переменные стремятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заключена между ними, то и она стремится к этому же пределу. Если x_n < y_n < z_n, причем x_n → p и z_n → p, то y_n → p.

2b) Если две функции F(x) и Ф(х) стремятся к одному и тому же пределу A при х → p, а значения функции f(x) заключены между значениями F(x) и Ф(х), то f(x) стремится к этому же пределу A

при х → p . Если F(x) ≤ f(x) ≤ Ф(х) и

, то .

3) Предел суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) пределов этих слагаемых:

lim (u ± v ± … ± t) = lim u ± lim v ± … ± lim t.

4) Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей:

lim (u · v · … · t) = lim u ·lim v · … · lim t.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

lim c·u = с · lim u.

5) Предел частного равен частному пределов, если только предел делителя (знаменателя) не равен нулю: , если lim v ≠ 0.

6) Если предел числителя не равен нулю, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби является бесконечно большой величиной (см. п.1b): Если lim u ≠ 0, а lim v = 0, то . Если же lim u =0 и lim v =0, то для нахождения предела необходимы дополнительные исследования.

Раскрытие некоторых типов неопределённостей.

7) Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х.

8) Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную в форме: , надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (х - а) и сократить на него дробь.

9) Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Другие замечательные пределы

Понижение степени

Раскрытие некоторых типов неопределённостей.

7) Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х.

8) Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную в форме: , надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (х - а) и сократить на него дробь.

9) Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Другие замечательные пределы

Понижение степени