Samoylova / vika_12a

To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu.

>> To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu.

clear all

format long

disp('Решаем пример 12a')

nf = 10; % число интервалов разбиения

syms x y Dy D2y % описали символические переменные

Решаем пример 12a

F=2*Dy^2+2*y^2+y*cos(x)-5*x;% подинтегральная функция

x1=0; y1=2; x2=2; y2=2;

fprintf('Подынтегральная функция: F=%s\n',char(F))

fprintf('Граничные условия: y(%d)=%d; y(%d)=%d\n',x1,y1,x2,y2)

dFdy = diff(F,y);

dFdy1 = diff(F,Dy);

d_dFdy1_dx = diff(dFdy1,x);

d_dFdy1_dy = diff(dFdy1,y);

d_dFdy1_dy1 = diff(dFdy1,Dy); % d(dF/dy')/dy'

dFy1dx = d_dFdy1_dx + d_dFdy1_dy*Dy + d_dFdy1_dy1*D2y;

Euler = simple(dFdy-dFy1dx);

deqEuler = [ char(Euler) '=0' ]; % составили уравнение

Sol = dsolve(deqEuler,'x'); % решаем уравнение Эйлера

if length(Sol)~=1 % решений нет или более одного

error('Нет решений или более одного решения!');

end

SolLeft = subs(Sol,x,sym(x1));

SolRight = subs(Sol,x,sym(x2));

EqLeft = [char(SolLeft) '=' char(sym(y1))];

EqRight = [char(SolRight) '=' char(sym(y2))];

Con = solve(EqLeft,EqRight); % решаем систему

C1 = Con.C1;

C2 = Con.C2;

Sol1a = vpa(eval(Sol),14);

xpl = linspace(x1,x2);

y1a = subs(Sol1a,x,xpl);

Подынтегральная функция: F=2*Dy^2+2*y^2+y*cos(x)-5*x

Граничные условия: y(0)=2; y(2)=2

syms xim1 xi xip1 yim1 yi yip1

dx = sym((x2-x1)/nf)

dFdyP = subs ( dFdy, {x,y,Dy}, {(xim1+xi)/2, (yim1+yi)/2, (yi-yim1)/dx});

dFdyN = subs ( dFdy, {x,y,Dy}, {(xi+xip1)/2,(yi+yip1)/2,(yip1-yi)/dx});

dFdy1P = subs ( dFdy1, {x,y,Dy}, {(xim1+xi)/2,(yim1+yi)/2,(yi-yim1)/dx});

dFdy1N = subs ( dFdy1, {x,y,Dy}, {(xi+xip1)/2,(yi+yip1)/2,(yip1-yi)/dx});

EqF = simple((dFdyN+dFdyP)/2-(dFdy1N-dFdy1P)/dx)

dx =

1/5

EqF =

202*yi-99*yip1+1/2*cos(1/2*xi+1/2*xip1)-99*yim1+1/2*cos(1/2*xim1+1/2*xi)

neq = nf-1 % количество уравнений

edx = eval(dx) % шаг сетки

xiC=[x1+edx:(x2-x1-2*edx)/neq:x2-edx]'; % текущая точка

xiP=xiC-edx;

xiN=xiC+edx; % предыдущая и последующая точки

e0 = subs(EqF,{xim1,xi,xip1,yim1,yi,yip1},{xiP,xiC,xiN,0,0,0} ); % своб. члены

e0 = ones(neq,1).*e0; % если скаляр, сделали вектором

eiP = subs ( EqF, {xim1,xi,xip1,yim1,yi,yip1}, {xiP,xiC,xiN,1,0,0} ) - e0;

eiC = subs ( EqF, {xim1,xi,xip1,yim1,yi,yip1}, {xiP,xiC,xiN,0,1,0} ) - e0;

eiN = subs ( EqF, {xim1,xi,xip1,yim1,yi,yip1}, {xiP,xiC,xiN,0,0,1} ) - e0;

b = -eval(e0); % правые части

A = diag(eval(eiC)) + diag(eval(eiN(1:neq-1)),1) + diag(eval(eiP(2:neq)),-1);

b(1) = b(1)-eiP(1)*y1; % учли граничные условия

b(neq) = b(neq)-eiN(1)*y2;

y = A\b; % решаем систему

x12a = linspace(x1,x2,nf+1); % абсциссы

y12a = zeros(nf+1,1);

y12a(2:nf) = y; % решение

y12a(1) = y1;

y12a(nf+1) = y2; % граничные условия

plot(xpl,y1a,'--b',x12a,y12a,'-r')

title ( '\bfExample 12a' ) % заголовок

xlabel('x')

ylabel('y(x)') % ось OY