(16) (17)

Рассмотрим 3 уравнение Максвелла. Возьмем дивергенцию от соотношения (16).

Для сторонних токов:

Окончательно получим: (18)

В случае гармонических электромагнитных полей мы должны воспользоваться соотношением (17) и (18), при этом (4) и (11) останутся без изменений.

Итак, когда имеются сторонние источники:

Уравнения Максвелла без учета сторонних источников:

Подставляя вторую систему в первую, с использованием метода комплексных амплитуд, получим:

В дальнейшем индекс m будем формально опускать.

6. Уравнения баланса для средней за период мощности.

Теорема Умова-Пойнтинга и соответствующее ей аналитическое соотношение

(1)

были сформулированы для мгновенных значений и остаются справедливыми в последний момент времени. Это соотношение — важнейшее в классе электродинамики.

При анализе гармонических электромагнитных процессов особый интерес представляют энергетические параметры, усредненные по периоду. Среднее за период значение: (2)

Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного процесса. Необходимо для каждого из слагаемых уравнения (1) получить величину, определяемую соотношением (2). Т. к. в соотношении (2) осуществляется интегрирование по времени, а анализируется гармонический электромагнитных процесс, то, естественно, надо воспользоваться методом комплексных амплитуд. Непосредственная замена мгновенных функций, соответствующими комплексными аналогами возможна только в линейных уравнениях. В данном случае непосредственная замена мгновенных векторов электромагнитного поля невозможна, так как выполняются следующие неравенства:

В случае нелинейных уравнений, переход к комплексным амплитудам осуществляют с помощью следующего соотношения:

(3)

Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного поля. Сначала определим среднее за период значения функций входящие в (1).

Для начала получим среднее за период значение вектора Пойнтинга:

раскроем векторное произведение: (4)

Таким образом, сумму можно записать как удвоенную действительную часть любого из слагаемых:

₍₅₎

Величина от времени не зависит. С учетом приведенных рассуждений, получаем:

(6)

Подставим (6) в (2). Два последних слагаемых, в соотношении (6), меняются с удвоенной частотой, т.е. половину периода принимают положительную величину, а другую половину — отрицательную. Поэтому и среднее за период значение равно нулю.

(7)

Величина, от которой берется действительная часть (8) называется комплексным вектором Пойнтинга.

(8) — комплексный вектор Пойнтинга.

(9)

Итак, (7) определяет среднее за период значение плотности потока энергии через поверхность S. Среднее за период значение потока мощности:

(10)

Рассмотрим каждое из слагаемых выражения (1).

(11)

(12)

(13)

(14)

Таким образом, в результате проделанных нами вычислений, получили:

(15)

(16)

В среднем за период, мощность сторонних источников расходуется на потери внутри объема и частично уходит во внешнее пространство, через поверхность S.

4.7. Уравнения баланса для комплексной мощности.

В радиотехнике часто пользуются понятием комплексной мощности. Так, если рассматривается гармонический процесс, то комплексную мощность сторонних источников можно записать:

Получим уравнение баланса для комплексных мощностей гармонического электромагнитного процесса. Уравнение баланса для комплексной мощности получается аналогично уравнению баланса для среднего за период значения. Удобно записать уравнение Максвелла сразу для комплексно-сопряженных величин:

(1)

_{Вновь полагаем, что потери в среде обусловлены конечной проводимостью:}

_{Возьмем комплексное сопряжение от всех комплексных величин:}

(2)

Умножим скалярно правую и левую части соотношения (1) на . Получим:

(3)

Воспользуемся векторным тождеством, из которого следует:

Выразим из тождества :

, тогда:

Будем предполагать, что магнитные потери в среде отсутствуют, тогда . Подставимв соотношение(3): (4)

Проинтегрируем по объему:

(5)

Поделим на 2 и учтем, что во втором слагаемом стоит разность энергий

(6)

(7)

Выражение (7)запишем в виде системы из 2-х уравнений: одно устанавливает связь между активными мощностями, другое — между реактивными.

Получим: (8)

(9)

Как мы и ожидали, соотношение (8) совпадает с уравнением для средних за период мощностей. Из (9) следует, что реактивная мощность сторонних источников равна умноженной на 2w разности средних за период значений энергий + реактивный поток энергии, через поверхность S. Рассмотрим важное приложение к (8) и (9). Будем предполагать, что объем V, для которого составлено уравнение баланса, является изолированной системой. В этом случае комплексный поток мощности, через поверхность S, равен нулю и уравнение баланса:

(10)

В этом случае происходит колебательный обмен энергией между электрическим и магнитным полями, т.е. один момент существует только электрическое поле, потом и то и другое, потом только магнитное и т.д. В том случае когда

(11)

мощность сторонних источников становится чисто активной:

(12)

и обмен энергиями происходит без участия сторонних источников. Если (11) не соблюдается, то для этого обмена необходимо участие сторонних источников. Изолированная система, в которой мощность сторонних источников чисто активна, т.е. выполняется равенство (11), называется резонирующей изолированной системой, а условие (11) называется условием резонанса. Для характеристики изолированной колебательной системы вводят понятие добротности.

Под добротностью Q понимают:

(13)

(14)

Средняя за период энергия электрического поля:

При резонансе , тогда

Соотношения (6), (7) были получены при условии, что . Потери в среде обусловлены конечной проводимостью

В этом случае общее выражение для баланса комплексных мощностей остается неизменным, но конкретное, аналитическое выражение для слагаемых, изменится. Мощность потерь записывается следующим образом:

В заключение этого параграфа приведем выражение для скорости распределения энергии, записанное через комплексные амплитуды:

, где DS — поперечное сечение.

В том случае, когда составляющие неизменны, получаем: