4.4. Уравнения Максвелла для монохроматического поля.

Метод комплексных амплитуд.

Любые переменные электромагнитные процессы можно представить в виде дискретного или непрерывного спектра гармонических электромагнитных полей. Поэтому в дальнейшем будем анализировать гармонические электромагнитные процессы (монохроматические), так как сигнал любой сложности можно представить как суперпозицию гармонических процессов. Обычно используют метод комплексных амплитуд.

Пусть имеется некоторый гармонический процесс:

(1),

ему в соответствие ставится: (2)

(3)

Аналогично и для векторных величин. Пусть, есть вектор изменяющийся по гармоническому закону:

(4)

Ему соответствует комплексная величина:

₍₅₎

или

₍₆₎

Если, мгновенные скалярные и векторные функции удовлетворяют некоторым линейным уравнениям, то этим же уравнениям удовлетворяют и их комплексные аналоги.

Использование метода комплексных амплитуд существенно упрощает решение задач с геометрическими электромагнитными процессами. Причина этого:дифференцирование по времени от комплексных амплитуд эквивалентно просто домножению на jw, а интегрирование по времени эквивалентно делению на jw.

4.5. Система уравнений монохроматического (гармонического) поля.

Известно, что уравнения Максвелла относятся к линейным дифференциальным уравнениям. Поэтому в случае гармонических электромагнитных полей в уравнениях Максвелла можно перейти к комплексным амплитудам.

Т.е. если , то, где

.

Используя понятие комплексных амплитуд, получим:

(1) т.к. ,(2)

(3)

(4), где(5)

— комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

Входящее в соотношение (5) отношение называется тангенсом угла электрических потерь:(6)

Комплексная диэлектрическая проницаемость в форме (5) справедлива для сред, в которых имеются только джоулевы потери. В общем случае, когда необходимо учесть диэлектрические потери представляется в следующем виде:(7)

(8) – тангенс угла диэлектрических потерь

Этот общий случай позволяет также учесть потери, связанные с эффектом поляризации в переменном электрическом поле. Наличие диэлектрических потерь приводит к появлению фазового сдвига между электрическими векторами D и Е. Величина которого: (9)

Переходя во втором уравнении Максвелла к комплексным амплитудам получим: (10).

, где (11)

(12) — тангенс угла магнитных потерь.

Магнитные потери связаны с эффектом периодического изменения намагниченности вещества во внешнем поле. Наличие магнитных потерь приводит к фазовому запаздыванию вектора В относительно вектора Н (явление Гистерезиса) в электромагнитных средах.

В случае гармонического поля при использовании метода комплексных амплитуд, возникает дополнительная возможность учесть потери, связанные с эффектами поляризации и намагничивания вещества.

В случае гармонических полей при использовании метода комплексных амплитуд 3 и 4 уравнения Максвелла являются следствием первых двух.

Поясним это:

В средах с проводимостью неравной нулю объемная плотность убывает и в случае установившегося электромагнитного процесса (к ним относятся гармонические колебания). Можно считать, что объемная плотность электрического заряда равна нулю. В этом случае третье уравнение Максвелла запишется следующим образом:

(13)

Это соотношение для среды с конечной проводимостью. Оно является справедливым и для не проводящих сред. Если в непроводящей среде рассмотрим гармонический процесс, то:

Всякое изменение свободных электрических зарядов сопровождается появлением в среде электрического тока, но при в среде невозможно появление тока удовлетворяющего закону Ома. Поэтому(13) является справедливым в случае гармонических процессов и для непроводящих сред.

Переходя в уравнении (13) к комплексным амплитудам, получим:

(14)

Покажем, что оно является следствием (4). Возьмем дивергенцию от правой и левой части. Аналогично и для 4 уравнения Максвелла:

(15)

В случае гармонических полей они полностью описываются соотношениями(4), (11). Будем предполагать, что в рассмотренной области имеются сторонние источники. В этом случае выражения (4), (11) не применимы. Для получения справедливых соотношений воспользуемся 1 уравнением Максвелла: